人教B版(2019) 必修第四册 逆袭之路 第十一章 立体几何初步 专题三 高考中的立体几何初步问题

一、填空题

1. 难度：中等

学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.

2. 难度：中等

如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____.

3. 难度：中等

已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为__________.

4. 难度：中等

如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．

5. 难度：中等

已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．

二、单选题

6. 难度：中等

已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为

A.  B.  C.  D.

三、填空题

7. 难度：简单

已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.

四、单选题

8. 难度：中等

已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为

A. B. C. D.

9. 难度：困难

设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为

A. B. C. D.

10. 难度：中等

体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为

A.  B.  C.  D.

11. 难度：简单

（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

A. B.

C. D.

五、填空题

12. 难度：简单

长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________.

六、解答题

13. 难度：中等

如图，直四棱柱ABCD–A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB₁，A₁D的中点.

（1）证明：MN∥平面C₁DE；

（2）求点C到平面C₁DE的距离．

七、单选题

14. 难度：中等

设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是

A. α内有无数条直线与β平行

B. α内有两条相交直线与β平行

C. α，β平行于同一条直线

D. α，β垂直于同一平面

15. 难度：中等

如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(    )

A. B.

C. D.

八、解答题

16. 难度：简单

如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，E为PD的中点.证明：平面AEC.

17. 难度：简单

如图，在平行六面体中，，.求证：平面；

18. 难度：简单

如图，在四校锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，点M在线段PB上，平面MAC，，.求证：M为PB的中点.

19. 难度：中等

如图，四棱柱中，底面ABCD，四边形ABCD为梯形，，且.过，C，D三点的平面记为，与的交点为Q.证明：Q为的中点.

20. 难度：简单

如图所示，在四棱锥中，，，.在平面PAD内找一点M，使得直线平面PAB，并说明理由.

21. 难度：中等

如图，长方体ABCD–A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，点E在棱AA₁上，BE⊥EC₁.

（1）证明：BE⊥平面EB₁C₁；

（2）若AE=A₁E，AB=3，求四棱锥的体积．

22. 难度：简单

如图，在三棱锥中，，，为的中点．

    （1）证明：平面；

    （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．

23. 难度：中等

如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．

（1）证明：平面平面；

（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．

24. 难度：中等

图1是由矩形和菱形组成的一个平面图形，其中， ，将其沿折起使得与重合，连结，如图2.

（1）证明图2中的四点共面，且平面平面；

（2）求图2中的四边形的面积.

25. 难度：中等

如图，四面体ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，.证明：平面平面ABC.

26. 难度：简单

（2016新课标全国Ⅱ理科节选）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交BD于点H. 将△DEF沿EF折到△的位置，.

证明：平面ABCD．

27. 难度：中等

如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．

（1）证明：平面平面；

（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．

九、单选题

28. 难度：中等

如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（  ）

A.，且直线是相交直线

B.，且直线是相交直线

C.，且直线是异面直线

D.，且直线是异面直线

十、解答题

29. 难度：中等

如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.

（Ⅰ）证明：G是AB的中点；

（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．

十一、单选题

30. 难度：简单

已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则

A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n

十二、填空题

31. 难度：中等

已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面平面SCB，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为______．

十三、解答题

32. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求证：平面.

33. 难度：中等

如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：(1)EF∥平面ABC；

(2)AD⊥AC.