2020届河南省高三上学年期末数学（文科）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

若等差数列的前两项分别为1，3，则该数列的前10项和为（    ）

A.81 B.90 C.100 D.121

3. 难度：简单

设复数，定义.若，则（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本.设事件表示“两本都是《红楼梦》”；事件表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；事件表示“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”.下列结论正确的是（    ）

A.与是互斥事件 B.与是互斥事件

C.与是对立事件 D.，，两两互斥

5. 难度：简单

若双曲线：的一条渐近线方程为，则（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（    ）

A.PA，PB，PC两两垂直 B.三棱锥P-ABC的体积为

C. D.三棱锥P-ABC的侧面积为

7. 难度：中等

如图，在等腰直角中，，分别为斜边的三等分点（靠近点），过作的垂线，垂足为，则（    ）

A. B.

C. D.

8. 难度：中等

函数的图象大致为（    ）

A. B.

C. D.

9. 难度：简单

设不等式组表示的平面区域为，若从圆：的内部随机选取一点，则取自的概率为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，，且，，利用张衡的结论可得球的表面积为（    ）

A.30 B. C.33 D.

11. 难度：中等

已知函数，则函数的零点所在区间为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：简单

已知直线y＝k（x﹣1）与抛物线C：y²＝4x交于A，B两点，直线y＝2k（x﹣2）与抛物线D：y²＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（    ）

A.λ＜﹣16 B.λ＝﹣16 C.﹣12＜λ＜0 D.λ＝﹣12

二、填空题

13. 难度：简单

函数的最小值为______.

14. 难度：简单

函数的图象的对称轴方程为______.

15. 难度：简单

在正方体中，设，与底面所成角分别为，，则______.

16. 难度：中等

在数列中，，，曲线在点处的切线经过点，下列四个结论：①；②；③；④数列是等比数列；其中所有正确结论的编号是______.

三、解答题

17. 难度：中等

为了解某中学学生对《中华人民共和国交通安全法》的了解情况，调查部门在该校进行了一次问卷调查（共12道题），从该校学生中随机抽取40人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成，，，，，六组，得到如下频率分布直方图.

（1）若答对一题得10分，未答对不得分，估计这40人的成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）若从答对题数在内的学生中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在内的概率.

18. 难度：中等

，，分别为内角，，的对边.已知，，且.

（1）求的面积；

（2）若，是边上的三等分点，求.

19. 难度：中等

如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，与相交于点.

（1）证明：平面.

（2）若，求点到平面的距离.

20. 难度：困难

已知函数.

（1）若在上存在极大值，求的取值范围；

（2）若轴是曲线的一条切线，证明：当时，.

21. 难度：困难

已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.

（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.

（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点的直角坐标为，过的直线与曲线相交于，两点.

（1）若的斜率为2，求的极坐标方程和曲线的普通方程；

（2）求的值.

23. 难度：中等

已知函数，记不等式的解集为.

（1）求；

（2）设，证明：.