2020届广东省东莞市高三期末调研测试理科数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，则集合（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

己知，其中为虚数单位，则（    ）

A. B.1 C.3 D.

3. 难度：简单

已知向量,满足，,且与的夹角为，则（   ）

A.1 B.3 C. D.

4. 难度：简单

已知数列为等差数列，为其前 项和，，则（   ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（   ）

整个互联网行业从业者年龄分布饼状图        90后从事互联网行业者岗位分布图

                     

A.互联网行业从业人员中90后占一半以上

B.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多

C.互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多

D.互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%

6. 难度：中等

函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么的值为（    ）

A. B.-3 C.3 D.

8. 难度：简单

如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，至少含有一颗上珠的概率为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

设是给定的平面，是不在内的任意两点．有下列四个命题：

①在内存在直线与直线异面；②在内存在直线与直线相交；

③存在过直线的平面与垂直；④存在过直线的平面与平行．

其中，一定正确的是（    ）

A.①②③ B.①③ C.①④ D.③④

11. 难度：中等

已知圆的半径是，点是圆内部一点（不包括边界），点是圆圆周上一点，且，则的最小值为（    ）

A. B.12 C. D.13

12. 难度：中等

已知球是正四面体的外接球，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2；如此循环，最终都能够得到1．右图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入的值为6，则输出的值为_______．

14. 难度：简单

已知，则___________

15. 难度：中等

若展开式中的系数为13，则展开式中各项系数和为______（用数字作答）．

16. 难度：困难

已知函数（其中为自然对数的底数），则不等式的解集为_____．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列中，且

（1）求证：数列为等比数列；

（2）求数列的前项和．

18. 难度：中等

如图，在中，内角所对的边分别为，且．

（1）求角A的大小；

（2）若，边上的中线的长为7，求的面积．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点在底面上的射影为底面的中心点，点在棱上，且的面积为1．

（1）若点是的中点，求证：平面平面；

（2）在棱上是否存在一点使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力．某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4小时内（含4小时）每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4元，超过8小时至24小时内（含24小时）收费30元；超过24小时，按前述标准重新计费．上述标准不足一小时的按一小时计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：

（小时）
频数（车次）	100	100	200	200	350	50

以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率．

（1）现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研，记录并统计了停车时长与司机性别的列联表：

	男	女	合计
不超过6小时		30
6小时以上	20
合计			100

完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？

（2）（i）表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求的概率分布列及期望；

（ii）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，表示3辆车中停车费用大于的车辆数，求的概率．

参考公式：，其中

	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
	0.780	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

21. 难度：困难

已知函数（其中为自然对数的底数）．

（1）求的单调性；

（2）若，对于任意，是否存在与有关的正常数，使得成立？如果存在，求出一个符合条件的；否则说明理由．

22. 难度：中等

在直角坐标系中，圆的普通方程为．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

（1）写出圆的参数方程和直线的直角坐标方程；

（2）设点在上，点Q在上，求的最小值及此时点的直角坐标．

23. 难度：中等

已知函数．

（1）解不等式；

（2）记函数的最大值为，若，证明：．