2020届山东省枣庄、滕州市高三上学期期末考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知i是虚数单位，，复数，则（    ）

A. B.5 C. D.

3. 难度：简单

函数是上的奇函数，当时，，则当时，（  ）

A. B.

C. D.

4. 难度：简单

已知，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 难度：简单

已知向量，且，则（    ）

A.3 B.-3 C. D.

6. 难度：简单

将曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，则（    ）

A.1 B.-1 C. D.

7. 难度：中等

已知若函数恰有一个零点，则实数k的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为（    ）

A. B. C. D.

二、多选题

9. 难度：简单

某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：cm）如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是（    ）

A.女生身高的极差为12 B.男生身高的均值较大

C.女生身高的中位数为165 D.男生身高的方差较小

10. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，的外角平分线交x轴于点Q，过Q作交的延长线于，作交线段于点，则（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

在正方体中，N为底面ABCD的中心，P为线段上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则（    ）

A.CM与PN是异面直线 B.

C.平面平面 D.过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形

12. 难度：困难

如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2km，从P点沿海岸正东12km处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度为，时间t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距P点的距离.设，则（    ）

A.函数为减函数 B.

C.当时，此人从小岛到城镇花费的时间最少 D.当时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h

三、填空题

13. 难度：简单

谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的《数学百草园》、《好玩的数学》、《故事中的数学》等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱.下面我们一起来看《好玩的数学》中谈老的一篇文章《五分钟内挑出埃及分数》：文章首先告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.如用两个埃及分数与的和表示等.从这100个埃及分数中挑出不同的3个，使得它们的和为1，这三个分数是________.（按照从大到小的顺序排列）

14. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，角的顶点是O，始边是x轴的非负半轴，，点是终边上一点，则的值是________.

15. 难度：中等

已知F为双曲线的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且（O为坐标原点），则C的离心率为________.

16. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，，，则PA与平面ABC所成角的大小为________；三棱锥P-ABC外接球的表面积是________.

四、解答题

17. 难度：中等

在①；②；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.

在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________________，，求的面积.

18. 难度：中等

已知等比数列满足成等差数列，且；等差数列的前n项和.求：

（1）；

（2）数列的前项和.

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，，平面PAB，，点E满足.

（1）证明：；

（2）求二面角A-PD-E的余弦值.

20. 难度：中等

2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.

项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0.

项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p和.

（1）若投资项目一，记为盈利的天坑院的个数，求（用p表示）；

（2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为百万元，求（用p表示）；

（3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由.

21. 难度：困难

设中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C过点，F为C的右焦点，⊙F的方程为

（1）求C的方程；

（2）若直线与⊙O相切，与⊙F交于M、N两点，与C交于P、Q两点，其中M、P在第一象限，记⊙O的面积为，求取最大值时，直线l的方程.

22. 难度：困难

已知函数，曲线在点处的切线在y轴上的截距为.

（1）求a；

（2）讨论函数和的单调性；

（3）设，求证：.