2017届上海市杨浦区高三5月模拟考试数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

计算：__________.

2. 难度：简单

设集合，，则__________.

3. 难度：简单

已知复数满足：（其中为虚数单位），则的模等于__________.

4. 难度：简单

若抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，则该抛物线的焦点到准线的距离为__________.

5. 难度：简单

的展开式中，的系数为          ．（用数字作答）

6. 难度：中等

已知函数存在反函数，则实数________

7. 难度：简单

方程的解集为__________.

8. 难度：中等

已知函数.若存在，使得，则的最小值为__________.

9. 难度：中等

若正四棱锥的高为2，侧棱与底面所成角的大小为，则该正四棱锥的体积为__________.

10. 难度：中等

从1，2，3，4中选择数字，组成首位数字为1，有且只有两个位数上数字相同的四位数，这样的四位数有__________个.

11. 难度：中等

已知等边的边长为2，点、分别在边、上且满足，则__________.

12. 难度：困难

已知函数的最小值为，则实数的取值范围为__________.

二、单选题

13. 难度：简单

已知，则“”是“”的（ ）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

14. 难度：简单

如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是

A.  B.

C.  D.

15. 难度：中等

已知数列是等比数列，其前项和为，则下列结论正确的是（    ）

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

16. 难度：中等

已知集合,若实数对满足:对任意的,都有,则称是集合的“嵌入实数对”,则以下集合中,不存在集合的“嵌入实数对”的是（    ）

A. B.

C. D.

三、解答题

17. 难度：中等

如图，直四棱柱中，，，，，为棱的中点.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的大小.

18. 难度：中等

已知函数，（其中），其部分图像如图所示.

（1）求的解析式；

（2）求函数在区间上的最大值及相应的值．

19. 难度：中等

经市场调查，某商品每吨的价格为万元时，该商品的月供给量为吨，；月需求量为吨，，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.

（1）已知，若某月该商品的价格为x=7，求商品在该月的销售额（精确到1元）；

（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6万元，求实数的取值范围.

20. 难度：中等

如图，由半圆和部分抛物线合成的曲线称为“羽毛球开线”，曲线与轴有两个焦点，且经过点

(1)求的值；

(2)设为曲线上的动点，求的最小值；

(3)过且斜率为的直线与“羽毛球形线”相交于点三点，问是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

21. 难度：困难

已知数列满足：，，.

（1）求的值；

（2）设，求证：数列是等比数列，并求出其通项公式；

（3）对任意的，，在数列中是否存在连续的项构成等差数列？若存在，写出这项，并证明这项构成等差数列：若不存在，请说明理由.