上海市2015-2016学年高一上学期期中数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

集合的子集个数为________．

2. 难度：简单

不等式|x﹣1|＞2的解为______.

3. 难度：简单

设实数a，b满足，则乘积ab的最大值为______.

4. 难度：简单

命题“若，则x=﹣1或y=1”的否命题为______.

5. 难度：简单

已知集合 A={x|x≥1}，B={x|x≥a}，若 A∪B=B，则实数a的取值范围是___.

6. 难度：简单

若A={a²，a+1，﹣3}，B={a﹣3，2a﹣1，a²+1}，A∩B={﹣3}，则a=___.

7. 难度：简单

不等式的解为______.

8. 难度：中等

已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________

9. 难度：简单

若集合，则实数m的取值范围是______.

10. 难度：困难

若不等式组的整数解只有－2，则k的取值范围是________．

11. 难度：困难

设x，y是正实数，记S为x，，中的最小值，则S的最大值为______.

12. 难度：中等

设n是一个正整数，定义n个实数a₁，a₂，…，a_n的算术平均值为.设集合 M={1，2，3，…，2015}，对 M的任一非空子集 Z，令α_z表示 Z中最大数与最小数之和，那么所有这样的α_z的算术平均值为______.

二、单选题

13. 难度：简单

实数a＞1，b＞1是a+b＞2的（　　）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

14. 难度：简单

设a，b∈R，下列不等式中恒成立的是（　　）

A. B.

C.a²+b²＞2ab D.

15. 难度：中等

对于实数a，b，c，给出下列命题：①若a＞b，则ac²＞bc²；②若0＞a＞b，则；③若a＞b，，则a＞0，b＜0；④若a＞b＞c＞0，则.其中真命题的个数为（　　）

A.0 B.1 C.2 D.3

16. 难度：中等

设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝

a∨b＝若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则(　　)

A.a∧b≥2，c∧d≤2 B.a∧b≥2，c∨d≥2

C.a∨b≥2，c∧d≤2 D.a∨b≥2，c∨d≥2

三、解答题

17. 难度：简单

已知全集U={1，2，3，…，10}，A={1，2，3，4，5}，B={4，5，6，7，8}，C={3，5，7，9}，求A∪B，A∩B，（_UA）∩B，A∪（ B∩C）.

18. 难度：简单

某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m²的二级净水处理池（如图）.池的深度一定，池的外围周壁建造单价为400元/m，中间的一条隔壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m²，池壁厚度忽略不计.问净水池的长为多少时，可使总造价最低？

19. 难度：简单

（1）解关于x的不等式：；

（2）记（1）中不等式的解集为 A，若 A⊆R⁺，证明：2a³+4a≥5a²+1.

20. 难度：困难

称正整数集合 A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）具有性质 P：如果对任意的i，j（1≤i≤j≤n），与两数中至少有一个属于A.

（1）分别判断集合{1，3，6}与{1，3，4，12}是否具有性质 P；

（2）设正整数集合 A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）具有性质 P.证明：对任意1≤i≤n（i∈N^*），a_i都是a_n的因数；

（3）求a_n=30时n的最大值.

21. 难度：中等

绝对值|x﹣1|的几何意义是数轴上的点x与点1之间的距离，那么对于实数a，b，的几何意义即为点x与点a、点b的距离之和.

（1）直接写出与的最小值，并写出取到最小值时x满足的条件；

（2）设a₁≤a₂≤…≤a_n是给定的n个实数，记S=.试猜想：若n为奇数，则当x∈　　　　　　时S取到最小值；若n为偶数，则当x∈　　　　　　时，S取到最小值；（直接写出结果即可）

（3）求的最小值.