2019届重庆市高三2月教学质量检测数学（理）试卷

一、填空题

1. 难度：中等

过抛物线焦点的直线交抛物线于，，若，则__________________.

二、解答题

2. 难度：中等

已知数列中，，，前项和为，且当，时，.

（1）证明：数列为等差数列；

（2）记，求.

3. 难度：简单

蚂蚁森林是支付宝客户端为首期“碳账户”设计的一款公益行动：用户通过步行、地铁出行、在线缴纳水电煤气费、网络挂号、网络购票等行为就会减少相应的碳排放量，可以用来在支付宝里养一棵虚拟的树.这棵树长大后，公益组织、环保企业等蚂蚁生态伙伴们可以在现实沙漠化地区（阿拉善、通辽、库布齐等）种下一棵实体的树目前通辽地区对部分基地樟子松幼苗的培育技术进行了改进，为了了解改进后的效果，现从改进前后的树苗培育基地各抽取了株产品作为样本，检测其同样生长周期的高度（单位：），若高度不低于才适合移植，否则继续等待生长图1是改进前的样本的频率分布直方图，表2是改进后的样本频率分布表.

图1

表2技术改进后样本的频率分布表

高度	频数

（1）根据图1和表2提供的信息，试从移植率的角度对培育技术改进前后的优劣进行比较；

（2）估计培育技术未改进的基地树苗高度的平均数；

（3）在市场中，规定高度在内的为三等苗，内的为二等苗，内的为一等苗.现从表2高度不低于的树苗样本中采用分层抽样的方法抽取株，再从这株幼苗中随机抽取株，求这株中一、二、三等苗都有的概率.

4. 难度：中等

已知函数，且.

（1）求的单调递减区间；

（2）若，求的值.

5. 难度：困难

已知为椭圆的右顶点，点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，当点与坐标原点重合时，直线的斜率之积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，求面积的最大值．

6. 难度：中等

设函数，其中，为自然对数的底数.

（1）若在存在极大值，求实数的取值范围；

（2）求证：（参考数据：）.

7. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变）得到曲线，求的参数方程；

（2）若，分别是直线与曲线上的动点，求的最小值.

8. 难度：中等

已知函数.

（1）求函数的值域；

（2）若存在非零实数使得不等式成立，求的取值范围.

三、单选题

9. 难度：简单

集合，，则（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：简单

在某次测量中得到的样本数据如下：，，，，，；若样本数据恰好是样本数据每个数都减去后所得的数据，则，两样本的下列数字特征相同的是（    ）

A.平均数 B.方差 C.众数 D.中位数

11. 难度：简单

复数满足（其中是虚数单位），则的虚部为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：简单

下列函数为奇函数且值域为的是（    ）

A. B. C. D.

13. 难度：简单

二项式的展开式的所有项系数和为，则展开式中的常数项为（    ）

A. B. C. D.

14. 难度：简单

某程序框图如图所示，若输出，则判断框中为（    ）

A. B. C. D.

15. 难度：中等

在中，“”是“为钝角三角形”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

16. 难度：简单

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（    ）

A. B. C. D.

17. 难度：简单

双曲线的离心率为，过双曲线的左焦点和的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（    ）

A. B. C. D.

18. 难度：中等

函数（、为常数）满足：对任意都有，则函数在区间内的零点为（    ）

A. B.或 C.或 D.

19. 难度：中等

已知圆台的母线长为，，分别为上、下底面的直径，，，且与不平行，则四面体体积的最大值为（    ）

A. B. C. D.

20. 难度：中等

设为上的函数，其导函数为，且，，则不等式的解集为（    ）

A. B. C. D.

四、填空题

21. 难度：中等

已知等比数列｛a_n｝为递增数列．若a₁>0，且2（a _n+a _n+2）=5a _n+1，则数列｛a_n｝的公比q = _____________________.

22. 难度：简单

正实数，满足，则的最小值为_______________________.

23. 难度：中等

在中，，，则的最大值为____________________.