天津市和平区2019-2020学年高三上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设全集为，集合，集合，则集合（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

3. 难度：简单

奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为-1，则的值为（    ）

A.-10 B.15 C.10 D.9

4. 难度：简单

已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为(    )

A.  B.

C.  D.

5. 难度：简单

设，，，则的大小关系是（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，为抛物线上一点，直线与双曲线有且只有一个交点，若，则该双曲线的离心率为（    ）

A. B. C.2 D.

8. 难度：简单

某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括、、三个类型问题，这三个类型所含题目的个数分别占总数的，，.现有3名同学独立地从中任选一个题目作答，则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

已知函数.若方程有两个实根，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

10. 难度：简单

设i是虚数单位，复数的模为1，则正数的值为_______．

11. 难度：中等

已知a＞0，的二项展开式中，常数项等于60，则(x–)⁶的展开式中各项系数和为         （用数字作答）．

12. 难度：简单

设随机变量的概率分布列如下表，则随机变量的数学期望__________．

	1	2	3	4

13. 难度：中等

已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，，则此球的表面积等于______．

14. 难度：中等

如图，在中，,,,，过点的直线分别交射线、于不同的两点、，若，，则当时，___________,__________．

15. 难度：中等

已知正实数满足，则当__________时，的最小值是__________．

三、解答题

16. 难度：简单

在中，角所对的边分别为.已知，且.

（1）求的值；

（2）求的值.

17. 难度：中等

如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且

（1）证明：平面平面；

（2）求棱与所成的角的大小；

（3）若点为的中点，并求出二面角的平面角的余弦值．

18. 难度：困难

已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，点是椭圆上的一个动点，且面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线交椭圆于、两点，过点作直线的垂线交圆:于另一点.若的面积为3，求直线的斜率.

19. 难度：困难

已知等比数列的公比，且，是、的等差中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）试比较与的大小，并说明理由；

（3）若数列满足，在每两个与之间都插入个2，使得数列变成了一个新的数列，试问：是否存在正整数，使得数列的前项和？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.

20. 难度：困难

设函数，，其中,是自然对数的底数.

（1）设，当时，求的最小值；

（2）证明：当，时，总存在两条直线与曲线与都相切；

（3）当时，证明：.