上海市2016届高三上学期摸底（理科）数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知复数z满足（i是虚数单位），则z=________．

2. 难度：简单

已知集合，若，则实数的取值范围是___________.

3. 难度：简单

不等式的解集为________．

4. 难度：简单

将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为________

5. 难度：简单

函数的最大值为__________．

6. 难度：简单

要从5名男生，3名女生中选出3人作为学生代表参加社区活动，且女生人数不多于男生人数，那么不同的选法种数有________种．

7. 难度：简单

、是半径为的球面上的两点，、的球面距离是，则过、两点的平面到球心的距离的最大值为________．

8. 难度：简单

已知点的坐标是，是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，则的取值范围是_______．

9. 难度：简单

若，则=________．

10. 难度：简单

某校对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标，并通过经验公式来计算各班的综合得分，的值越高则评价效果越好．若某班在自测过程中各项指标显示出，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得的值增加最多，那么该指标应为__________．（填入中的某个字母）

11. 难度：简单

不等式对于恒成立，则实数的取值范围是________．

12. 难度：简单

数列，的前项的和分别为、，数列满足：．若，，则数列的前2009项的和________．

二、单选题

13. 难度：简单

“实系数一元二次方程有虚根”是“”的（　　　　）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

14. 难度：简单

已知是一锐角三角形两内角，直线过，以为其方向向量，则直线一定不通过（　　　　）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

15. 难度：简单

等差数列中，前项和为，，公差．若存自然数，对于任意的自然数，总有成立，则值为（　　）

A.7和8 B.6和7 C.5和6 D.4和5

16. 难度：简单

老师给出问题：“设函数的定义域是，且满足：①对于任意的；②对于任意的，恒有．请同学们对函数进行研究”．经观察，同学们提出以下几个猜想：

甲同学说：在上递减，在上递增；

乙同学说：在上递增，在上递减；

丙同学说：的图象关于直线对称；

丁同学说：肯定是常函数．

你认为他们的猜想中正确的猜想个数有（　　　　）

A.3个 B.2个 C.1个 D.0个

三、解答题

17. 难度：简单

如图：在直三棱柱中，，．

（1）求多面体的体积；

（2）异面直线与所成角的大小．

18. 难度：中等

已知的角、、所对的边分别是、、，设向量，

，.

（1）若，求证：为等腰三角形；

（2）若，边长，角，求的面积.

19. 难度：中等

已知函数f(x)＝2x－，x∈(0，1]．

(1)当a＝－1时，求函数y＝f(x)的值域；

(2)若函数y＝f(x)在x∈(0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

如图：在直角坐标系中，设椭圆的左右两个焦点分别为、.过右焦点与轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆C的一个顶点为，求点M到直线的距离；

（3）过中点的直线交椭圆于P、Q两点，求长的最大值以及相应的直线方程.

21. 难度：中等

已知数列是公差的等差数列，且．

（1）求的前项的和；

（2）若，问在数列中是否存在一项（是正整数），使得成等比数列，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（3）若存在自然数（是正整数），满足，使得成等比数列，求所有整数的值．