2017届上海市杨浦区高三4月质量调研（二模）数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

行列式中，元素5的代数余子式________

2. 难度：简单

设实数，若函数的最小正周期为，则________

3. 难度：简单

已知圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的侧面面积        ．

4. 难度：简单

设向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围________

5. 难度：简单

集合，集合，若，则实数________

6. 难度：简单

设是方程的两根，则________

7. 难度：中等

设是定义在上的奇函数，当时，．则不等式的解为________．

8. 难度：简单

若变量满足约束条件，则的最小值为________

9. 难度：中等

小明和小红各自扔一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，则小明扔出的点数不大于2或小红扔出的点数不小于3的概率为________

10. 难度：中等

设A是椭圆上的动点，点F的坐标，若满足的点A有且仅有两个，则实数a的取值范围为________

11. 难度：中等

已知，，当取得最小值时，__________．

12. 难度：困难

设函数，当a在实数范围内变化时，在圆盘内，且不在任一的图象上的点的全体组成的图形面积为________

二、单选题

13. 难度：简单

设且，“z是纯虚数”是“”的（    ）

A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要条件 D.即非充分又非必要

14. 难度：中等

已知等差数列的公差，若的前项之和大于前项之和，则（  ）

A.  B.  C.  D.

三、解答题

15. 难度：简单

如图，正方体中，，P，Q分别是棱和的中点.

（1）求异面直线和所成角的大小；

（2）求以，，P，Q四点为四个顶点的四面体的体积.

16. 难度：中等

已知函数,

（1）判断函数的奇偶性，并证明；

（2）若不等式有解，求c的取值范围.

17. 难度：中等

如题所示:扇形ABC是一块半径为2千米，圆心角为60°的风景区，P点在弧BC上，现欲在风景区中规划三条三条商业街道PQ、QR、RP，要求街道PQ与AB垂直，街道PR与AC垂直，直线PQ表示第三条街道．

(1)如果P位于弧BC的中点，求三条街道的总长度；

(2)由于环境的原因，三条街道PQ、PR、QR每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问:这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？(精确到1万元)

18. 难度：中等

设数列满足，其中A，B是两个确定的实数，

（1）若，求的前n项和；

（2）证明：不是等比数列；

（3）若，数列中除去开始的两项外，是否还有相等的两项，并证明你的结论.

19. 难度：困难

设双曲线方程为，过其右焦点且斜率不为零的直线与双曲线交于A，B两点，直线的方程为，A，B在直线上的射影分别为C，D.

（1）当垂直于x轴，时，求四边形的面积；

（2），的斜率为正实数，A在第一象限，B在第四象限，试比较与1的大小；

（3）是否存在实数，使得对满足题意的任意，直线和直线的交点总在轴上，若存在，求出所有的值和此时直线和交点的位置；若不存在，请说明理由.