2016届上海市高三下学期5月毕业考试（文）数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

集合，，则等于________.

2. 难度：简单

函数的定义域是___________

3. 难度：中等

已知函数，则                      ．

4. 难度：简单

若复数所对应的点在直线上，则的值为________.

5. 难度：中等

各项均为实数的等比数列的前项和为,已知成等差数列,则数列的公比为________.

6. 难度：简单

已知平面上四点满足，则________.

7. 难度：简单

若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的最大值为________.

8. 难度：中等

如图，水平放置的正三棱柱的主视图是一边长为2的正方形，则该三棱柱的左视图的面积为                    ．

9. 难度：中等

对于抛物线，设直线过的焦点，且与的对称轴的夹角为.若被所截得的弦长为，则抛物线的焦点到顶点的距离为________.

10. 难度：中等

已知实数满足，则目标函数的取值范围是                ．

11. 难度：困难

函数的图像的一个对称中心的坐标是________.(只需要写出一个对称中心的坐标)

12. 难度：中等

某班级有4名学生被复旦大学自主招生录取后，大学提供了3个专业由这4名学生选择，每名学生只能选择一个专业，假设每名学生选择每个专业都是等可能的，则这3个专业都有学生选择的概率是               ．

13. 难度：中等

已知点、分别是双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为_______.

14. 难度：困难

如图，是同一平面内的三条平行直线，在的同侧.与的距离是，与的距离是，边长为的正三角形的三个顶点分别在上，则________.

二、单选题

15. 难度：简单

下列函数中，与函数的值域相同的函数为 （ ）

A. B. C. D.

16. 难度：简单

角终边上有一点，则下列各点中在角的终边上的点是_____.

A. B. C. D.

17. 难度：中等

一无穷等比数列各项的和为，第二项为，则该数列的公比为 （ ）

A.. B.. C.. D.或.

18. 难度：简单

正四面体中，的中点依次记为.直线与的关系是_____.

A.相交且垂直 B.异面且垂直 C.相交且不垂直 D.异面且不垂直

三、解答题

19. 难度：中等

已知复数（是虚数单位）在复平面上对应的点依次为，点是坐标原点.

（1）若,求的值；

（2）若点的横坐标为,求.

20. 难度：中等

某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐(不计厚度，长度单位为米)，其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，(为圆柱的高，为球的半径，).假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为千元，半球形部分每平方米建造费用为千元.设该储油罐的建造费用为千元.

(1) 写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；

(2) 若预算为万元，求所能建造的储油罐中的最大值(精确到)，并求此时储油罐的体积(单位: 立方米，精确到立方米).

21. 难度：中等

已知.是不小于的固定正整数.

(1) 解不等式；

(2) 试证明: 函数在内有一个零点，且在内仅有一个零点.

22. 难度：困难

如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线分别与线段和直线交于点.

(1) 若，求的值；

(2) 若，为线段的中点，求证: 直线与该抛物线有且仅有一个公共点.

(3) 若，直线的斜率存在，且与该抛物线有且仅有一个公共点，试问是否一定为线段的中点? 说明理由.

23. 难度：困难

在数列中，若是正整数，且，，则称为“D-数列”.

(1) 举出一个前五项均不为零的“D-数列”(只要求依次写出该数列的前五项)；

(2) 若“D-数列”中，，，数列满足，，写出数列的通项公式，并分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值(若不存在不需要交代理由)；

(3) 证明: 设“D-数列”中的最大项为，证明: 或.