人教B版(2019) 必修第三册 逆袭之路 第八章 8.1 向量的数量积 8.1.2 向量数量积的运算律

一、解答题

1. 难度：简单

证明：（1）；

（2）．

2. 难度：简单

（1）已知，，求；

（2）已知，求．

3. 难度：简单

已知，，与 的夹角为60°，求．

4. 难度：简单

如图所示，已知是菱形，与是两条对角线．求证：．

5. 难度：中等

如图所示，已知中，，分别为，边上的高，而且与相交于点O，连接并延长，与相交于点D．求证：．

6. 难度：简单

已知等腰，，点M为边的中点，求证．

7. 难度：简单

已知，求下列各式的值．

（1）；（2）；（3）．

8. 难度：简单

求证：．

9. 难度：简单

已知向量，满足，，求．

10. 难度：简单

已知，，，求．

11. 难度：中等

已知单位向量的夹角为，求与的夹角．

12. 难度：简单

当，，都是向量时，是否成立？为什么？

13. 难度：简单

已知，，，求．

14. 难度：简单

已知，，且在上的投影的数量为，求．

15. 难度：简单

在中，已知，，，求．

16. 难度：简单

已知，不共线，从几何上说明当时，一定有．

17. 难度：中等

利用向量的数量积证明如下结论．

（1）长方形的两条对角线相等；

（2）平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和．

18. 难度：中等

如图，在中，，，D是边的中点，求：

（1）在方向上的投影的数量；

（2）在方向上的投影的数量．

二、填空题

19. 难度：简单

在边长为1的等边三角形ABC中,设=2=3,则=_____.

三、单选题

20. 难度：中等

已知，，，且与垂直，则实数的值为（    ）

A. B. C. D.1

四、解答题

21. 难度：简单

已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角.

五、单选题

22. 难度：简单

已知是单位向量，．若向量满足，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

六、解答题

23. 难度：中等

在中，，，，且，试判断的形状．

七、填空题

24. 难度：简单

如图，已知中，，，，则_______．

八、单选题

25. 难度：中等

已知外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在方向上的投影的数量为（    ）

A. B.3 C. D.

九、解答题

26. 难度：简单

已知，

当（1）；

（2）；

（3）与的夹角是30°时，分别求．

十、填空题

27. 难度：简单

已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值是        ，

的最大值            .

十一、单选题

28. 难度：中等

平面内及一点满足，则点是（   ）

A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心

十二、解答题

29. 难度：简单

已知，向量的夹角为60°，，．求m为何值时，与垂直．

十三、填空题

30. 难度：中等

已知两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，，若，则______．

31. 难度：简单

已知与是两个互相垂直的单位向量，若与的夹角为锐角，则k的取值范围是________．

十四、单选题

32. 难度：简单

若向量a，b满足，且，则等于（    ）

A.3 B. C.10 D.

33. 难度：中等

在中，，点是的重心，则的最小值是(    )

A. B. C. D.

34. 难度：中等

已知是所在平面内一点，且满足，则为

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形

35. 难度：中等

若为所在平面内一点，，则形状是（    ）．

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.正三角形 D.以上答案均错

十五、解答题

36. 难度：简单

已知中，，，B是中的最大角，若，试判断的形状．

十六、单选题

37. 难度：简单

已知两个单位向量的夹角为45°，且满足，则实数的值为（    ）

A.2 B. C. D.

38. 难度：简单

已知不共线向量，，，，，则（    ）

A. B. C. D.

39. 难度：简单

中，，点M在边AB上，且满足，则（ ）

A. B.1 C.2 D.

40. 难度：中等

在中，，，，，则（    ）

A. B. C. D.

41. 难度：简单

的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）

A. B. C. D.

十七、填空题

42. 难度：简单

已知单位向量，的夹角为，且，若向量，则_____________；

43. 难度：简单

在中，已知，且，则的形状为______．

十八、解答题

44. 难度：中等

已知向量，，满足，，，．

（1）若，求实数x的值；

（2）当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值．

十九、填空题

45. 难度：中等

在中，，，. 若，，且，则的值为______________.

二十、单选题

46. 难度：中等

对于非零向量，，定义运算“*”：，其中为，的夹角．有两两不共线的三个向量，下列结论正确的是（    ）

A.若，则 B.

C. D.