上海市2016届高三下学期开学摸底（文理合卷）数学试卷

一、填空题

1. 难度：中等

    设集合A＝{x||x|<4}，B＝{x|x²－4x＋3>0}，则集合{x|x∈A，且x∉A∩B}＝________．

2. 难度：中等

若 ，则复数________.

3. 难度：简单

函数的反函数______；

4. 难度：中等

=________．

5. 难度：简单

设f(x)=则不等式f(x)>2的解集为             ．

6. 难度：简单

已知平面向量、，，，、的夹角为，则______.

7. 难度：简单

已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为________.

8. 难度：简单

以双曲线的右焦点为圆心，且被其渐近线截得的弦长为的圆的方程为______.

9. 难度：中等

    设抛物线x²＝4y的焦点为F，经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，则| ____.

10. 难度：简单

某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙2名学生，这2名学生选择的选修课相同的概率是______.

11. 难度：简单

各项为正数的无穷等比数列的前项和为，若，则其公比的取值范围是______；

12. 难度：中等

已知实数、满足，则的最小值是______；

13. 难度：中等

已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______；

14. 难度：困难

对，函数满足，设，数列的前15项和为，则__________.

二、单选题

15. 难度：简单

在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（ ）

A.6项 B.5项 C.4项 D.3项

16. 难度：简单

设为实数，命题甲：，命题乙：，则甲是乙的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

17. 难度：中等

若外接圆的半径为1，圆心为，且,则等于（   ）

A. B. C. D.

18. 难度：中等

下列命题：

①函数的图象关于轴对称的充要条件是，；

②已知是等差数列的前项和，若，则；

③函数与函数的图象关于直线对称；

④对于任意两条异面直线，都存在无穷多个平面与这两条异面直线所成的角相等.

其中正确的命题有（    ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

三、解答题

19. 难度：简单

中，内角的对边分别为，已知成等比数列，且．

（1）求的值；

（2）设，求的值．

20. 难度：简单

如图，直三棱柱中，，，，，M、N分别是和的中点.

（1）求异面直线与所成的角；

（2）求三棱锥的体积.

21. 难度：中等

已知函数，为实数.

（1）讨论在上的奇偶性；（只要写出结论，不需要证明）

（2）当时，求函数的单调区间；

（3）当时，求函数在上的最大值.

22. 难度：困难

（1）若动点到定点的距离与到定直线：的距离之比为，求证：动点的轨迹是椭圆；

（2）设（1）中的椭圆短轴的上顶点为，试找出一个以点为直角顶点的等腰直角三角形，并使得、两点也在椭圆上，并求出的面积；

（3）对于椭圆(常数)，设椭圆短轴的上顶点为，试问：以点为直角顶点，且、两点也在椭圆上的等腰直角三角形有几个？

23. 难度：困难

已知数列的前项和为，数列是首项为0，公差为的等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，对任意的正整数，将集合中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为，求证：数列为等比数列；

（3）对（2）中的，求集合的元素个数.