2020届北京市高三上学期期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，集合为整数集，则（ ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设命题，则为（ ）

A. B.

C. D.

3. 难度：简单

若复数（1+bi）(2+i)是纯虚数（i是虚数单位，b为实数），则b=

A.2 B. C.- D.-2

4. 难度：简单

已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

    设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 难度：简单

已知曲线在点处的切线方程为，则（  ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

已知为不相等的两个正数，且，则函数和的图象（    ）

A.关于原点对称 B.关于轴对称

C.关于轴对称 D.关于直线对称

8. 难度：简单

已知函数（，为常数，，）的图象关于对称，则函数是（    ）

A.偶函数且它的图象关于点对称

B.偶函数且它的图象关于点对称

C.奇函数且它的图象关于点对称

D.奇函数且它的图象关于点对称

9. 难度：简单

某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物，（1）如不超过200元，则不予优惠；（2）如超过200元但不超过500元，则全款按9折优惠；（3）如超过500元，其中500元按9折给予优惠，超过500元的部分按8折给予优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元.若他只去一次购买同样价值的商品，则应付款（    ）

A.472.8元 B.510.4元 C.522.8元 D.560.4元

10. 难度：中等

函数,设、、是曲线与直线的三个交点的横坐标,且，则下列命题错误的是（    ）

A.存在实数，使得 B.任给实数，都有

C.存在实数，使得 D.任给实数，都有

二、填空题

11. 难度：简单

若函数为偶函数，则_________.

12. 难度：中等

各项均为实数的等比数列的前项和为,已知成等差数列,则数列的公比为________.

13. 难度：简单

函数的极大值点为_________.

14. 难度：中等

在中，，，，点在线段上，若，则____；________.

15. 难度：简单

已知函数f（x）=x²﹣a^x（a＞0且a≠1），当x∈（﹣1，1）时，恒成立，则实数a的取值范围是__．

16. 难度：困难

数列满足：，，①_________；②若有一个形如（，，）的通项公式，则此通项公式可以为_________.（写出一个即可）

三、解答题

17. 难度：简单

已知函数

（Ⅰ）写出函数的单调递减区间；

（Ⅱ）设，的最小值是，最大值是，求实数的值．

18. 难度：简单

等比数列中，已知．

（1）求数列的通项公式；

（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和．

19. 难度：中等

近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积(单位:平方米)之间的函数关系是为常数).记为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．

（1）试解释的实际意义，并建立关于的函数关系式；

（2）当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？

20. 难度：中等

已知：中，满足.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求面积的最大值.

21. 难度：困难

已知函数 .

(1)当时,讨论的单调性；

(2)设，当时,若对任意,存在使,求实数取值.

22. 难度：困难

将全体自然数填入如图所示的 3 行无穷列的表格，每格只填一个数字，不同格内的数字不同. 对于正整数、，如果存在满足上述条件的一种填法，使得对于任意𝐍，都有，，分别在表格的不同行，则称数对为自然数集𝐍的“友好数对”.

第1行					…
第2行					…
第3行					…

（Ⅰ）试判断数对与是否是𝐍的“友好数对”，并说明理由；

（Ⅱ）若，问：是否存在，使得数对是𝐍的“友好数对”？若存在，给出满足条件的一个的取值，并写出相应的表格填法，若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）试给出使得数对是𝐍的“友好数对”的一个充分条件.（结论不要求证明）