2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，若，则实数的值可以为（  ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

下列函数值中，在区间上不是单调函数的是（  ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

已知等差数列的前项和为，若，且，则（  ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

不等式成立的一个充分不必要条件是（  ）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

如图，角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为（  ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

在四边形中，，设.若，则（  ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

已知函数.若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（  ）

A. B. C. D.

8. 难度：困难

设集合是集合的子集，对于，定义，给出下列三个结论：①存在的两个不同子集，使得任意都满足且；②任取的两个不同子集，对任意都有；③任取的两个不同子集，对任意都有；其中，所有正确结论的序号是（  ）

A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

二、填空题

9. 难度：简单

已知向量，且，则 _____

10. 难度：简单

函数的零点个数是________

11. 难度：简单

已知数列的前项和为，则____，_____

12. 难度：简单

如图，网格纸上小正方形的边长为.从四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则的最大值为____________

13. 难度：中等

已知数列的通项公式为，若存在，使得对任意都成立，则的取值范围为__________

14. 难度：中等

已知函数，其中，是这两个函数图像的交点，且不共线.①当时，面积的最小值为___________；②若存在是等腰直角三角形，则的最小值为__________.

三、解答题

15. 难度：简单

已知数列为各项均为正数的等比数列，为其前项和，，.

求数列的通项公式；

若，求的最大值.

16. 难度：简单

已知函数.

求函数的最小正周期；

若对恒成立，求实数的取值范围.

17. 难度：简单

已知函数，曲线在处的切线方程为

求的值；

若函数存在极大值，求的取值范围.

18. 难度：简单

在中，.

求的值；

若点为射线上的一个动点（与点不重合），设.

①求的取值范围；

②直接写出一个的值，满足：存在两个不同位置的点，使得.

19. 难度：简单

已知函数.

判断函数在区间上的单调性，并说明理由；

求证：.

20. 难度：困难

已知集合，且中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”.

分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；

已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得.若，求证：是等差数列；

集合是“独立的”，求证：存在，使得.