人教A版(2019) 必修第一册 逆袭之路 第二章 2.2 基本不等式

一、解答题

1. 难度：简单

已知，求的最小值.

2. 难度：简单

已知、都是正数，求证：

（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；

（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值.

3. 难度：简单

已知、，求证：.

4. 难度：简单

已知、都是正数，且，求证：（1）；（2）.

5. 难度：简单

当取什么值时，取得最小值？最小值是多少？

6. 难度：简单

已知，求的最大值.

7. 难度：中等

已知直角三角形的面积为50，两直角边各为多少时，两条直角边的和最小？最小值为多少？

8. 难度：简单

（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？

（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

9. 难度：中等

某工厂要建造一个长方体无盖蓄水池，其容积为4800，深为3，如果池底每的造价为150元，池壁每的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少元？

10. 难度：简单

用长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？

11. 难度：简单

用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长.当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

12. 难度：简单

做一个体积为,高为2的长方形纸盒,底面的长与宽分别取什么值时用纸最少？

13. 难度：简单

已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？

14. 难度：中等

已知且，试比较，，的大小．

15. 难度：中等

已知，，，求证：.

16. 难度：中等

已知，，求证：.

二、填空题

17. 难度：中等

（1）若正实数、满足，则的最小值是_____；

（2）若实数、满足，则的最大值是_____.

三、解答题

18. 难度：中等

（1）已知、均为正数，且，求的最小值；

（2）已知，求的最小值.

19. 难度：中等

设，且恒成立，求实数的取值范围.

20. 难度：中等

如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm^2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？

四、单选题

21. 难度：简单

已知，且，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

22. 难度：简单

对于，，下列不等式中不正确的是（    ）

A. B.

C. D.

23. 难度：中等

若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（    ）

A.ab有最小值 B.有最小值

C.有最小值4 D.有最小值

五、解答题

24. 难度：中等

已知，求证：.

25. 难度：中等

已知是正实数，且， 证明：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）．

六、单选题

26. 难度：简单

函数其中的最大值是　　

A. B. C.1 D.2

27. 难度：中等

已知若x，y均为正数，则的最小值是　　

A. B. C.8 D.24

七、填空题

28. 难度：中等

已知、，且，则的取值范围是___.

29. 难度：中等

已知两个正数满足,则使不等式恒成立的实数的范围是__________

30. 难度：简单

如果一个直角三角形的斜边长等于，那么这个直角三角形的面积的最大值等于______.

八、解答题

31. 难度：中等

某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为．轮船的最大速度为15海里/小时当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何)总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度匀速航行.

（1）求的值；

（2）求该轮船航行100海里的总费用（燃料费+航行运作费用）的最小值．

九、单选题

32. 难度：简单

若实数x，y满足，则的最大值为　　

A. 1 B.  C.  D.

十、填空题

33. 难度：困难

若，则的最小值为________.

34. 难度：中等

已知实数，，且满足，则的最小值是______．

十一、单选题

35. 难度：中等

已知实数，，且，则的最小值为(   )

A. B. C. D.

36. 难度：中等

若正实数满足，则的最小值为　　

A.  B.  C.  D.

37. 难度：中等

已知 ，且，则的最小值为(  )

A.  B.  C.  D.

38. 难度：简单

若正数a，b满足，则的最小值为 

A. B. C.8 D.9

十二、填空题

39. 难度：简单

已知，，，则的最小值为______．

40. 难度：中等

已知正数x、y、z满足，则的最小值为______．

41. 难度：中等

一批救灾物资随51辆汽车从某市以的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于，那么这批物资全部到达灾区，最少需要______

42. 难度：中等

已知，且，，则的最小值为______，的最小值为______..

十三、解答题

43. 难度：中等

如图，将宽和长都分别为x，的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为注：正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线互相垂直的图形，

求y关于x的函数解析式；

当x，y取何值时，该正十字形的外接圆面积最小，并求出其最小值．

十四、单选题

44. 难度：简单

中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为(  )

A.  B.  C.  D.

45. 难度：中等

已知实数，满足，，则的最小值是 

A.10 B.9 C. D.

十五、填空题

46. 难度：简单

在实数集中定义一种运算“*”，具有性质：

（1）对任意，，；

（2）对任意，；

（3）对任意，，.

则函数的最小值为_______.

47. 难度：中等

已知，，且，则的最小值等于__________.

48. 难度：中等

已知实数，且，则的最小值为____