湖北省襄阳市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

平面与平面平行的充分条件可以是（    ）

A.内有无穷多条直线都与平行

B.直线，，且直线a不在内，也不在内

C.直线，直线，且，

D.内的任何一条直线都与平行

2. 难度：简单

已知两个平面垂直，下列命题   

①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线

②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线

③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面

其中不正确命题的个数是（    ）

A.3 B.2 C.1 D.0

3. 难度：简单

曲线与曲线的　　

A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等

4. 难度：简单

在直三棱柱中，己知，，，则异面直线与所成的角为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，线段AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为（  ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与CD所成的角为 

A. B. C. D.

8. 难度：中等

圆上到直线之距离为的点有（ ）个

A.1 B.2 C.3 D.4

9. 难度：中等

与圆x²+y²=1及圆x²+y²﹣8x+12=0都外切的圆的圆心在（ ）

A.一个椭圆上 B.一个圆上

C.一条抛物线上 D.双曲线的一支上

10. 难度：中等

已知倾斜角为的直线过抛物线焦点，且与抛物线相交于、两点，若，则（    ）

A. B.1 C.2 D.4

11. 难度：中等

如图，已知椭圆，斜率为﹣1的直线与椭圆C相交于A，B两点，平行四边形OAMB（O为坐标原点）的对角线OM的斜率为，则椭圆的离心率为（     ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题：

①对任意三点、、，都有；

②已知点和直线：，则；

③到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.

其中正确的命题有（    ）

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

二、填空题

13. 难度：简单

如果椭圆上一点P到焦点的距离等于6，则点P到另一个焦点的距离为____

14. 难度：简单

长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5 ，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是              

15. 难度：中等

已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______.

16. 难度：困难

已知椭圆C:的左右焦点分别为，,点P在椭圆C上，线段与圆：相切于点Q，若Q是线段的中点，e为C的离心率，则的最小值是______________

三、解答题

17. 难度：简单

求满足下列条件的双曲线的标准方程：

（1），，焦点在轴上；

（2），经过点，焦点在轴上.

18. 难度：中等

如图，矩形中，平面，，为上的点，且平面，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求三棱锥的体积．

19. 难度：简单

已知直线l的方程为.

(1)求过点且与直线l垂直的直线方程；

(2)求直线与的交点，且求这个点到直线l的距离.

20. 难度：困难

已知椭圆的左、右焦点分别为短轴两个端点为且四边形是边长为的正方形．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点．证明：为定值．

21. 难度：中等

如图，直三棱柱中，，，分别为、的中点.

（1）证明：平面；

（2）已知与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

22. 难度：困难

如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧.记、的面积分别、.

（1）求的值及抛物线的方程；

（2）求的最小值及此时点的坐标.