2020届天津市高三数学开学统练试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设集合，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设，则“”是“”的(   )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为

A. B. C. D.

4. 难度：中等

已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为

A. B. C.2 D.

5. 难度：简单

已知，，，则的大小关系为（   ）

A. B.

C. D.

6. 难度：中等

设，表示不超过的最大整数．若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是（ ）

A. 3    B. 4    C. 5    D. 6

7. 难度：中等

已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（   ）

A.  B.  C.  D.

8. 难度：中等

已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（  ）

A. B. C. D.

二、填空题

9. 难度：简单

展开式中的常数项为________.

10. 难度：中等

设，则的最小值为______.

11. 难度：中等

在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则__________.

12. 难度：中等

已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则__________．

13. 难度：困难

已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.

14. 难度：困难

已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________

三、解答题

15. 难度：中等

在中，内角所对的边分别为.已知，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值.

16. 难度：中等

设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；

（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.

17. 难度：中等

如图，平面，，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.

18. 难度：困难

设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.

19. 难度：困难

设是等差数列，是等比数列.已知.

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足其中.

（i）求数列的通项公式；

（ii）求.

20. 难度：困难

设函数为的导函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）当时，证明；

（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明.