2020届江苏省扬州市高三上学期期末数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，且，则实数k的值为________.

2. 难度：简单

设，其中i是虚数单位，则________.

3. 难度：简单

用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为90的样本，在高一抽40人，高二抽30人，若高三有400人，则该校共有________人.

4. 难度：简单

下图是一个算法流程图，若输入x的值为1，则输出S的值为________.

5. 难度：简单

已知，则“”是“函数为偶函数”的________条件.（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要"）.

6. 难度：简单

若一组样本数据21，19，x，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为________.

7. 难度：简单

在平面直角坐标系xOy中，顶点在原点且以双曲线的右准线为准线的抛物线方程是________.

8. 难度：简单

已知，若向区域随机投掷一点P，则点P落入区域A的概率为________.

9. 难度：简单

等差数列的公差不为零，首项是和的等比中项，则________.

10. 难度：简单

已知定义在上的函数的导函数为，且，则的解集为________.

11. 难度：简单

已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，圆台的高为，母线与轴的夹角为，则这个圆台的轴截面的面积等于________.

12. 难度：中等

已知函数，若存在实数满足，则的取值范围为________.

13. 难度：中等

在中，若，则的最大值为________.

14. 难度：中等

在平面直角坐标系中，A和B是圆上两点，且，点P的坐标为，则的取值范围为________.

二、解答题

15. 难度：中等

已知.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若，求的值.

16. 难度：中等

如图，是以BC为底边的等腰三角形，DA，EB都垂直于平面ABC，且线段DA的长度大于线段EB的长度，M是BC的中点，N是ED的中点.

求证：（1）平面EBC；

（2）平面DAC.

17. 难度：中等

如图是一个半径为1千米的扇形景点的平面示意图，.原有观光道路OC，且.为便于游客观赏，景点管理部门决定新建两条道路PQ、PA，其中P在原道路OC（不含端点O、C）上，Q在景点边界OB上，且，同时维修原道路的OP段，因地形原因，新建PQ段、PA段的每千米费用分别是万元、万元，维修OP段的每千米费用是万元.

（1）设，求所需总费用，并给出的取值范围；

（2）当P距离O处多远时，总费用最小.

18. 难度：困难

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右准线的方程为分别为椭圆C的左、右焦点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过作斜率为的直线l交椭圆C于M，N两点（点M在点N的左侧），且，设直线AM，BN的斜率分别为，求的值.

19. 难度：困难

已知函数.

（1）若时，直线是曲线的一条切线，求b的值；

（2）若，且在上恒成立，求a的取值范围；

（3）令，且在区间上有零点，求的最小值.

20. 难度：困难

对于项数为m（且）的有穷正整数数列，记，即为中的最小值，设由组成的数列称为的“新型数列”.

（1）若数列为2019，2020，2019，2018，2017，请写出的“新型数列”的所有项；

（2）若数列满足，且其对应的“新型数列”项数，求的所有项的和；

（3）若数列的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求符合条件的及其对应的“新型数列”.

21. 难度：中等

已知矩阵

（1）求矩阵M的特征值及特征向量；

（2）若，求.

22. 难度：中等

在极坐标系中，已知点M，N的极坐标分别为，直线l的方程为.

（1）求以线段MN为直径的圆C的极坐标方程；

（2）求直线l被（1）中的圆C所截得的弦长.

23. 难度：中等

甲、乙两人采用五局三胜制比赛，即一方先胜三局则比赛结束，甲每场比赛获胜的概率均为，设比赛局数为X.

（1）求的概率；

（2）求X的分布列和数学期望.

24. 难度：困难

已知数列满足，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，求证：当时，.