湖北省武汉市、第十二中学、汉铁高中）2019-2020学年第一学期高二数学期末联考试卷

一、单选题

1. 难度：简单

点关于xOz平面对称的点的坐标是（    ）.

A. B. C. D.

2. 难度：简单

为调查参加第七届世界军人运动会的9000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是（    ）.

A.9000名运动员是总体 B.每个运动员是个体

C.抽取的100名运动员是样本 D.样本容量是100

3. 难度：简单

双曲线的右焦点到直线的距离是（    ）.

A. B.2 C. D.1

4. 难度：简单

如果直线l的方向向量是，且直线l上有一点P不在平面内，平面的法向量是，那么（    ）.

A.直线l与平面垂直 B.直线l与平面平行

C.直线l在平面内 D.直线l与平面相交但不垂直

5. 难度：简单

某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”（    ）.

A.是对立事件 B.都是不可能事件

C.是互斥事件但不是对立事件 D.不是互斥事件

6. 难度：简单

实数是方程表示实轴在轴上的双曲线的（　　）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

在正方体中，为棱的中点，则（    ）．

A. B. C. D.

8. 难度：简单

以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均为16.8，则的值为（    ）

A.7 B.10 C.13 D.16

9. 难度：简单

甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则以下四种说法中正确的个数为（    ）

①甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数    ②甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数

③甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差        ④甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差

A.1 B.2 C.3 D.4

10. 难度：中等

正方体中，侧面内有一动点到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹为一段 （ ）

A.圆弧 B.双曲线弧 C.椭圆弧 D.抛物线弧

11. 难度：简单

在棱长为1的正方体中，P是底面ABCD上（含边界）一动点，满足，则线段长度的取值范围（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：简单

黄金分割比例具有严格的比例性，艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值.这一比值能够引起人们的美感，被称为是建筑和艺术中最理想的比例.我们把离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下四种说法中正确的个数为（    ）

①椭圆是“黄金椭圆；

②若椭圆，的右焦点且满足，则该椭圆为“黄金椭圆”；

③设椭圆，的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，若，则该椭圆为“黄金椭圆”；

④设椭圆，，的左右顶点分别A，B，左右焦点分别是，，若，，成等比数列，则该椭圆为“黄金椭圆”；

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题

13. 难度：简单

已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为________.

14. 难度：简单

正方体中，E是棱中点，G是中点，F是BC上一点且，则GB与EF所成的角的正弦值为________.

15. 难度：简单

已知直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点且，________.

16. 难度：简单

已知直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若的面积为，则双曲线的离心率为________.

三、解答题

17. 难度：简单

某高校在2019年的冬令营考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下图所示：

组号	分组	频数	频率
第1组		5	0.050
第2组		35	0.350
第3组		10	0.100
第4组		20	0.200
第5组		30	0.300
合计	100	1.00

（1）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？

（2）在（1）的前提下，高校决定在这6名学生中，随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求第4组至少有一名学生被A考官测试的概率.

18. 难度：简单

已知抛物线C的顶点在原点，准线是，一条过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点.若OA与OB的斜率之和为2，求直线l的方程.

19. 难度：简单

如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，且，平面ABCD.

（1）求PA与平面PCD所成角的正弦值；

（2）棱PD上是否存在一点E，满足？若存在，求AE的长；若不存在，说明理由.

20. 难度：简单

某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.

（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；

（2）估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；

（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：

广告投入x（单位：万元）	1	2	3	4	5
销售收益y（单位：万元）	1	3	4		7

表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入上表的空白栏，并计算y关于x的回归方程.

回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.

21. 难度：简单

已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为，

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程：

（Ⅱ）求过点的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若，求的面积.

22. 难度：简单

如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，侧棱底面ABCD，AB垂直于AD和BC，，且.M是棱SB的中点.

（Ⅰ）求证：面SCD；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为，求的最大值.