2020届辽宁省葫芦岛市高三上学期学业质量监测（期末）数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知i是虚数单位，复数 （　　　　）

A.i﹣2 B.i+2 C.﹣2 D.2

3. 难度：简单

在等比数列中，，是方程的两根，则（    ）

A.1 B. C. D.

4. 难度：中等

设均为单位向量，则“”是“”的（    ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 难度：简单

2018年辽宁省正式实施高考改革.新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课.这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想.考改实施后，学生将在高二年级将面临着的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习.某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（    ）

A.样本中的女生数量多于男生数量

B.样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量

C.样本中的男生偏爱物理

D.样本中的女生偏爱历史

6. 难度：中等

函数的图像大致为 (　　)

A.  B.

C.  D.

7. 难度：简单

在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么（ ）

A.  B.  C.  D.

8. 难度：简单

函数在单调递增，求a的取值范围（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

若，，则下列不等式不成立的是（    ）

A. B.

C. D.

10. 难度：中等

已知角，，，，则角（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

如图所示，已知球O为棱长为3的正方体的内切球，则平面截球O的截面面积为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

设函数，当时，不等式对任意的恒成立，则的可能取值是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为_______.

       

14. 难度：简单

《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一，书中不仅记载了“天圆如张盖，地方如棋局”一说，更是记载了借助“外圆内方“的钱币及用统计概率得到圆周率的近似值的方法，具体做法如下，现有“外圆内方”的钱币（如图），测得钱币“外圆”半径（即圆的半径）为2cm，“内方”（即钱币中间的正方形孔）的边长为1cm，在圆内随机取点，若统计得到此点取“内方”之外部分的概率是p,则圆周率的近似值为________.

   

15. 难度：中等

的展开式中系数为2，则a的值为_______，的系数为________.

16. 难度：困难

已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P为双曲线C右支上异于顶点的一点，的内切圆与x轴切于点，且直线经过线段的中点且垂直于线段，则双曲线C的方程为________________.

三、解答题

17. 难度：中等

如图，在四棱锥中，侧面是等边三角形，且平面平面、E为的中点，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

18. 难度：中等

已知数列其前n项和满足：.

（1）求数列的通项公式；

（2）当时，，当且时，设，求的前n项和.

19. 难度：中等

冬季历来是交通事故多发期，面临着货运高危运行、恶劣天气频发、包车客运监管漏洞和农村交通繁忙等四个方面的挑战.全国公安交管部门要认清形势、正视问题，针对近期事故暴露出来的问题，强薄羽、补短板、堵漏洞，进一步推动五大行动，巩固扩大五大行动成果，全力确保冬季交通安全形势稳定.据此，某网站推出了关于交通道路安全情况的调查，通过调查年龄在的人群，数据表明，交通道路安全仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此类问题的约占80%，现从参与调查并关注交通道路安全的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）求这100人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；

（2）现在要从年龄较大的第4，5组中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行问卷调查，求第4组恰好抽到2人的概率；

（3）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注交通道路安全的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望.

20. 难度：困难

椭圆的上顶点为，点在椭圆上，，分别为的左右焦点，.

（1）求椭圆的方程；

（2）点M在圆上，且M在第一象限，过M作的切线交椭圆于，两点，且，，不共线，问：的周长是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）求在点处的切线方程；

（2）若不等式恒成立，求k的取值范围；

（3）求证：当时，不等式成立.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.

（1）求圆C的直角坐标方程及直线的斜率；

（2）直线与圆C交于M，N两点，中点为Q，求Q点轨迹的直角坐标方程.

23. 难度：中等

设a，b是正实数，求：

（1）若，求的最小值；

（2）若，求的最大值.