2016届上海市闸北区高三上学期期末（文）数学试卷

一、填空题

1. 难度：中等

若二项式的展开式中的系数是84，则实数__________．

2. 难度：简单

函数的单调性为________；奇偶性为________；

3. 难度：中等

一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是     

4. 难度：简单

在菱形中，，，为的中点，则的值是_______；

5. 难度：中等

已知log₂a+log₂b≥1，则3^a+9^b的最小值为         ．

6. 难度：中等

将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是        .

7. 难度：简单

过点作圆的切线，切点为，如果，那么切线的斜率是________；

8. 难度：中等

已知等差数列的公差为，关于的不等式的解集为，则使数列的前项和取最大值的正整数的值是______．

9. 难度：中等

如图，正方形的边长为2，为的中点，射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至，在旋转的过程中，记为，所经过的在正方

形内的区域（阴影部分）的面积，那么对于函数有以下三个结论：

①；② 对任意，都有；

③ 对任意，且，都有；

其中所有正确结论的序号是_______；

二、单选题

10. 难度：简单

“”是“抛物线的焦点与与双曲线的焦点重合”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

11. 难度：简单

已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，给出下列四个命题：

①若，垂直于同一平面，则与平行；

②若，平行于同一平面，则与平行；

③若，不平行，则在内不存在与平行的直线；

④若，不平行，则与不可能垂直于同一平面

其中真命题的个数为（　　）

A.4 B.3 C.2 D.1

12. 难度：中等

已知向量和是互相垂直的单位向量，向量满足，，其中，设为和的夹角，则（    ）

A.随着的增大而增大 B.随着的增大而减小

C.随着的增大，先增大后减小 D.随着的增大，先减小后增大

三、解答题

13. 难度：简单

如图所示，在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A，，将角的终边绕原点逆时针方向旋转交单位圆于点B，过B作轴于C.

（1）若点A纵坐标为，求点的横坐标；

（2）求面积S的最大值.

14. 难度：简单

有一块铁皮零件，其形状是由边长为的正方形截去一个三角形所得的五边形，其中，如图所示.现在需要用这块材料截取矩形铁皮，使得矩形相邻两边分别落在上，另一顶点落在边或边上.设，矩形的面积为.

（1）试求出矩形铁皮的面积关于的函数解析式，并写出定义域；

（2）试问如何截取（即取何值时），可使得到的矩形的面积最大？

15. 难度：中等

如图，已知动直线，交圆于坐标原点和点，交直线于点；

（1）试用k表示点、点的坐标；

（2）设动点满足，其轨迹为曲线，求曲线的方程；

（3）请指出曲线的对称性、顶点和图形范围，并说明理由；

16. 难度：困难

已知数列的前项和为，且点在函数的图像上；

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足：，，求的通项公式；

（3）在第（2）问的条件下，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；