北京市西城区2019-2020学年高二上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知椭圆的一个焦点为,则的值为(    )

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知数列满足,,则(    )

A. B. C. D.

3. 难度：简单

已知命题:,,则为(    )

A., B.,

C., D.,

4. 难度：简单

已知,若,则(    )

A. B. C. D.

5. 难度：简单

已知向量,且,那么(    )

A. B. C. D.

6. 难度：中等

已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的　　

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7. 难度：简单

已知向量,,,若共面,则等于(    )

A. B. C.或 D.或

8. 难度：中等

德国著名数学家高斯,享有“数学王子”之美誉.他在研究圆内整点问题时,定义了一个函数,其中表示不超过的最大整数,比如. 根据以上定义,当时,数列,,(    )

A.是等差数列,也是等比数列 B.是等差数列,不是等比数列

C.是等比数列,不是等差数列 D.不是等差数列,也不是等比数列

9. 难度：中等

设有四个数的数列,该数列前项成等比数列,其和为m,后项成等差数列,其和为. 则实数m的取值范围为(     )

A. B. C. D.

10. 难度：中等

曲线.给出下列结论:

①曲线关于原点对称;

②曲线上任意一点到原点的距离不小于1;

③曲线只经过个整点(即横､纵坐标均为整数的点).

其中,所有正确结论的序号是(     )

A.①② B.② C.②③ D.③

二、填空题

11. 难度：简单

设是椭圆上的点,到该椭圆左焦点的距离为,则到右焦点的距离为__________.

12. 难度：简单

不等式的解集为________

13. 难度：简单

能说明“若,则”为假命题的一组､值是______,________.

14. 难度：中等

在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．

15. 难度：中等

某渔业公司今年初用万元购进一艘渔船用于捕捞,已知第一年捕捞工作需各种费用万元,从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加万元.若该渔船预计使用年,其总花费(含购买费用)为________ 万元;当______时,该渔船年平均花费最低(含购买费用).

16. 难度：中等

若 表示从左到右依次排列的9盏灯,现制定开灯与关灯的规则如下:

(1)对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作;

(2)灯在任何情况下都可以进行一次操作;对任意的,要求灯的左边有且只有灯是开灯状态时才可以对灯进行一次操作.如果所有灯都处于开灯状态,那么要把灯关闭最少需要_____次操作;如果除灯外,其余8盏灯都处于开灯状态,那么要使所有灯都开着最少需要_____次操作.

三、解答题

17. 难度：中等

已知等比数列的公比为,且,,成等差数列.

(Ⅰ)求的通项公式;

(Ⅱ)设的前项和为,且,求的值.

18. 难度：中等

已知函数,.

(Ⅰ)若,求的取值范围;

(Ⅱ)若对恒成立,求的取值范围;

(Ⅲ)求关于的不等式的解集.

19. 难度：中等

已知椭圆的右焦点为,离心率为.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设点为椭圆的上顶点,点在椭圆上且位于第一象限,且,求的面积.

20. 难度：中等

如图,四棱锥中,平面,, .,,,是的中点.

(Ⅰ)证明:⊥平面;

(Ⅱ)若二面角的余弦值是,求的值;

(Ⅲ)若,在线段上是否存在一点,使得⊥. 若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由.

21. 难度：中等

已知抛物线,抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为.

(Ⅰ)求抛物线的方程及其准线方程;

(Ⅱ)过的直线交抛物线于不同的两点,交直线于点,直线交直线于点. 是否存在这样的直线,使得? 若不存在,请说明理由;若存在,求出直线的方程.

22. 难度：困难

若无穷数列满足:对任意两个正整数,与至少有一个成立,则称这个数列为“和谐数列”.

(Ⅰ)求证:若数列为等差数列,则为“和谐数列”;

(Ⅱ)求证:若数列为“和谐数列”,则数列从第项起为等差数列;

(Ⅲ)若是各项均为整数的“和谐数列”,满足,且存在使得，,求p的所有可能值.