湖南省张家界市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知复数，则的虚部为（      ）．

A. B.3 C.1 D.

2. 难度：简单

甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙下成平局的概率为（    ）

A.50% B.30% C.10% D.60%

3. 难度：简单

“”是“”成立的（      ）．

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 难度：简单

已知直线的一个方向向量，且直线过和两点，则（      ）

A.0 B.1 C. D.3

5. 难度：简单

福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03，…，32,33这33个二位号码中选取，小明利用如图所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字，则第四个被选中的红色球号码为（    ）

A.12 B.33 C.06 D.16

6. 难度：简单

函数的极大值是（     ）．

A. B. C. D.

7. 难度：简单

洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（      ）．

A. B. C. D.

8. 难度：中等

已知抛物线的焦点为，与抛物线在第一象限的交点为，且是（      ）．

A.6 B.4 C.2 D.1

9. 难度：中等

十七世纪，法国数学家费马提出猜想；“当整数时，关于、、的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年英国数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则下面命题正确的是（    ）

①对任意正整数，关于、、的方程都没有正整数解；

②当整数时，关于、、的方程至少存在一组正整数解；

③当正整数时，关于、、的方程至少存在一组正整数解；

④若关于、、的方程至少存在一组正整数解，则正整数；

A.①② B.①③ C.②④ D.③④

10. 难度：中等

函数的图象大致是(  )

A. B.

C. D.

11. 难度：中等

已知，分别为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形的周长为，面积为，且满足，则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

若关于的方程有三个不等的实数解,且,其中,为自然对数的底数,则的值为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

设，则________．

14. 难度：简单

某班甲、乙两位同学在高二第一学期的5次物理考试成绩的茎叶图如图所示，则这两位同学中成绩比较稳定的同学的方差是________．

15. 难度：简单

在区间上任取一个实数，使得方程表示双曲线的概率为________．

16. 难度：困难

已知是圆上一动点，为圆所在平面内一定点（为圆的圆心），线段的垂直平分线与直线交于点，则点的轨迹可能是________．（写出所有正确结论的序号）①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线；⑤一个点；⑥直线．

三、解答题

17. 难度：简单

为推进农村经济结构调整，某乡村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目．现统计了4月份100名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）若将购买金额不低于80元的游客称为“优质客户”，现用分层抽样的方法从样本的“优质客户”中抽取5人，求这5人中购买金额不低于100元的人数；

（2）从（1）中的5人中随机抽取2人作为幸运客户免费参加乡村游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率．

18. 难度：简单

已知命题复数在复平面上对应的点位于第二象限，命题椭圆的离心率,

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）若命题为真命题，求实数的取值范围．

19. 难度：简单

在统计学中，偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计时，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差．某高二班主任为了了解学生的偏科情况，对学生数学偏差（单位：分）与历史偏差（单位：分）之间的关系进行学科偏差分析，决定从全班52位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如下：

学生序号	1	2	3	4	5	6	7	8
数学偏差	20	15	13	3	2
历史偏差

（1）已知与之间具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；

（2）若这次考试该班数学平均分为118分，历史平均分为，试预测数学成绩126分的同学的历史成绩．

附：参考公式与参考数据

，，，．

20. 难度：中等

如图，在四棱锥，为矩形，，，平面平面．

（1）证明：平面平面；

（2）若为中点，直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值．

21. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上顶点，的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于不同两点，，已知，，求实数的取值范围．

22. 难度：困难

已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）设图象在点处的切线与的图象相切，求的值；

（3）若函数存在两个极值点，，且，求的最大值．