上海市2016届高三下学期开学摸底数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

计算：______.

2. 难度：中等

已知函数 ，则它的定义域是______.

3. 难度：中等

已知，则的值为______.

4. 难度：简单

设复数满足，则__________．

5. 难度：简单

若函数的图像经过点，则________．

6. 难度：中等

已知的展开式中含的项的系数为30，则________.

7. 难度：简单

不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是                      ．

8. 难度：中等

等比数列的首项，公比为，满足，则公比q的取值范围是______.

9. 难度：中等

设双曲线的左右顶点分别为，P为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线的斜率分别为，则的值为______.

10. 难度：中等

从这个整数中任意取个不同的数作为二次函数的系数，则使得的概率为            ．

11. 难度：困难

数列满足，则的前60项和为________．

12. 难度：困难

在三棱锥P-ABC中，并且，，M是底面ABC内一点，则M到该三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值为______.

13. 难度：困难

已知，若同时满足条件：①或；②.则m的取值范围是________________.

14. 难度：简单

如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆⊙Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P为⊙Q上及内部的动点，设向量.则m＋n的取值范围是_______.

二、单选题

15. 难度：中等

下列命题是真命题的是（    ）

A.有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

B.正四面体是四棱锥

C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体叫做棱锥

D.正四棱柱是平行六面体

16. 难度：中等

若，则“关于的方程无实根”是“(其中表示虚数单位)在复平面上对应的点位于第四象限”的（ ）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

17. 难度：中等

在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过个整点，则称函数为阶整点函数．有下列函数：

①； ②③④，

其中是一阶整点函数有(     )个

A.1 B.2 C.3 D.4

18. 难度：困难

设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（    ）

A.  B. C. D.

三、解答题

19. 难度：中等

已知在直三棱柱中， ，，直线与平面ABC成30°的角．

（1）求点到平面的距离；

（2）求二面角的余弦值．

20. 难度：中等

已知函数．

（1）求函数的最大值及此时x的值；

（2）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且对定义域中的任意的x都有，若，求的最大值．

21. 难度：中等

我国加入WTO时，根据达成的协议，若干年内某产品的关税税率、市场价格(单位:元)与市场供应量之间满足关系式:(其中为正常数)，当时，P关于的函数的图像如图所示：

(1)试求的值；

(2)记某市场需求量为Q，它近似满足当P=Q时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4元时，求税率的最大值。

22. 难度：困难

给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆Ｃ的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到Ｆ的距离为.

（I）求椭圆Ｃ的方程和其“准圆”方程；

(II )点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点M，N.

（1）当P为“准圆”与轴正半轴的交点时，求的方程；

（2）求证：|MN|为定值.

23. 难度：困难

已知数列中，，，且其前n项和满足（其中），令；

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求证： ，；

（3），求同时满足下列条件的所有a的值；

①对任意的正整数n，都有；

②对任意的，均存在，使得当时，．