2020届天津市高三数学上学期第一次月考数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（   ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为(  )

A.，xR

B.，xR且x≠0

C.,xR

D.，xR

3. 难度：简单

设a＝log₃6，b＝log₅10，c＝log₇14，则 ( )．

A. c>b>a B. b>c>a

C. a>c>b D. a>b>c

4. 难度：简单

“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足，且，则a=（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

已知是函数的一个零点，若，则（    ）

A., B.,

C., D.,

7. 难度：中等

已知函数的最小正周期是，若其图像向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图像（    ）

A.关于点对称 B.关于直线对称

C.关于点对称 D.关于直线对称

8. 难度：困难

若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

已知菱形的边长为2，，点分别在边上，,.若，则等于(　　)

A. B.

C. D.

二、填空题

10. 难度：简单

若复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为______

11. 难度：中等

的展开式中的系数是__________．

12. 难度：简单

如图，正方体的棱长为1，E为棱上的点，为AB的中点，则三棱锥的体积为       .

13. 难度：中等

数列中，已知，则=______

14. 难度：中等

不等式对任意正数x、y恒成立，则正数的最小值是______

15. 难度：困难

设是定义在R上的两个函数，满足， 满足，且当时，，.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是______

三、解答题

16. 难度：中等

某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛，经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得分，答错得分，假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分別为，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用表示乙队的总得分．

（1）求的分布列；

（2）求甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率．

17. 难度：困难

如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）设为棱上的点（不与，重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．

18. 难度：中等

正项等比数列的前n项和记为，

（1）求数列的通项公式；

（2）等差数列的各项为正，且，又成等比数列，设，求数列的前n项和.

19. 难度：中等

设椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为A，左焦点到左顶点的距离为1，离心率为.

（1）求椭圆M的方程；

（2）过点A作斜率为k的直线与椭圆M交于另一点B，连接并延长交椭圆M于点C.若，求k的值.

20. 难度：困难

已知，函数.

（1）若，证明：函数在区间上是单调增函数；

（2）求函数在区间上的最大值；

（3）若函数的图像过原点，且的导数，当时，函数过点的切线至少有2条，求实数的值.