云南省楚雄彝族自治州2019-2020学年高三上学期期中数学理科试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

已知复数，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有，，，个销售点.公司为了调查产品销售情况，需从这个销售点中抽取一个容量为的样本.按照分层抽样的方法抽取样本，则丙地区抽取的销售点比乙地区抽取的销售点多（    ）

A.个 B.个 C.个 D.个

4. 难度：简单

已知向量，，则“”是“与共线”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 难度：简单

甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000，12000，15000，其成本构成如下图所示，则关于这三家企业下列说法错误的是（   ）

A.成本最大的企业是丙企业 B.费用支出最高的企业是丙企业

C.支付工资最少的企业是乙企业 D.材料成本最高的企业是丙企业

6. 难度：简单

在中，角，，所对的边分别为，，.若，，则外接圆的面积为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

设函数，则（    ）

A.在上单调递增，其图象关于直线对称

B.在上单调递增，其图象关于直线对称

C.在上单调递减，其图象关于直线对称

D.在上单调递减，其图象关于直线对称

9. 难度：简单

在同一直角坐标系中，直线与圆的位置可能为（    ）

A. B.

C. D.

10. 难度：中等

已知函数，则不等式的解集为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：简单

将一个实心球削成一个正三棱锥，若该三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则此球表面积的最小值为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

已知是函数的导数，且满足对恒成立，，是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（    ）

A. B.

C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

圆锥的母线长是，侧面积是，则该圆锥的高为______.

14. 难度：简单

已知角的始边与轴正半轴重合且终边过点，则的值为______.

15. 难度：简单

海伦公式亦叫海伦—秦九昭公式.相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现的海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式.它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为，其中，，分别是三角形的三边长，.已知一根长为的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为，则该三角形面积的最大值为______.

16. 难度：简单

设，是椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是______.

三、解答题

17. 难度：中等

如图.四棱柱的底面是直角梯形，，，，四边形和均为正方形.

（1）证明；平面平面ABCD；

（2）求二面角的余弦值.

18. 难度：简单

为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据分成，，，，，，组，得到如图所示的频率分布直方图.若尺寸落在区间之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中，分别为样本平均和样本标准差，计算可得（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

（1）若一个零件的尺寸是，试判断该零件是否属于“不合格”的零件；

（2）工厂利用分层抽样的方法从样本的前组中抽出个零件，标上记号，并从这个零件中再抽取个，求再次抽取的个零件中恰有个尺寸小于的概率.

19. 难度：简单

已知等比数列的公比，其前项和为，.若，，成等差数列.

（1）求的值；

（2）若数列单调递增，且首项为，求数列的前项和.

20. 难度：中等

已知抛物线和的焦点分别为，，且与相交于，两点，为坐标原点.

（1）证明：.

（2）过点的直线交的下半部分于点，交的左半部分于点，是否存在直线，使得以为直径的圆过点？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由.

21. 难度：中等

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）已知函数在时总有成立，求的取值范围.

22. 难度：简单

在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求圆的极坐标方程；

（2）已知直线与圆交于，两点，若，求直线的直角坐标方程.

23. 难度：简单

设函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，且关于的不等式有解，求的取值范围.