2016届上海市静安区高三上学期期末教学质量检测（理）数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知抛物线的准线方程是，则__________.

2. 难度：简单

在等差数列中，已知公差，，则___．

3. 难度：简单

设，且，则的取值范围是______.

4. 难度：困难

已知球的半径为24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是__________ cm³．（结果保留圆周率）

5. 难度：中等

方程的解为__________.

6. 难度：简单

直线关于直线对称的直线方程是__________.

7. 难度：简单

已知复数满足，其中为虚数单位，则___．

8. 难度：简单

的展开式中项的系数等于___．（用数值作答）

9. 难度：简单

在产品检验时，常采用抽样检查的方法．现在从100件产品（已知其中有3件不合格品）中任意抽出4件检查，恰好有2件是不合格品的抽法有___种．（用数值作答）

10. 难度：中等

经过直线与圆的两个交点，且面积最小的圆的方程是___．

11. 难度：中等

在平面直角坐标系中，坐标原点、点，将向量绕点按逆时针方向旋转后得向量，则点的横坐标是___．

12. 难度：简单

在中，、、所对的边分别为、、，若的面积，则__________.（用数值作答）

13. 难度：中等

已知各项都为正数的等比数列，且满足，若存在两项，使得，则的最小是为________

14. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l₁.再将直线l₁沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l₁关于点（2，3）对称，则直线l的方程是________________.

二、单选题

15. 难度：简单

组合数恒等于（    ）

A. B. C. D.

16. 难度：简单

函数的反函数是（    ）

A. B.

C. D.

17. 难度：简单

已知数列的通项公式为，则（    ）

A. B.0 C.2 D.不存在

18. 难度：简单

下列四个命题中，真命题是（　　）

A.和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线

B.和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线

C.和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线

D.若、是异面直线，、是异面直线，则、是异面直线

三、解答题

19. 难度：中等

如图，在棱长为1的正方体中，为的中点.求：

（1）异面直线与所成角的余弦值；

（2）点到平面的距离.

20. 难度：中等

李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业，万众创新”．某创客，白手起家，2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金，每月获得的利润是该月初投入资金的．每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的，每月的生活费等开支为3000元，余款全部投入创业再经营．如此每月循环继续．

（1）问到2015年年底（按照12个月计算），该创客有余款多少元？（结果保留至整数元）

（2）如果银行贷款的年利率为，问该创客一年（12个月）能否还清银行贷款？

21. 难度：中等

设和是双曲线上的两点，线段的中点为，直线不经过坐标原点．

（1）若直线和直线的斜率都存在且分别为和，求证：；

（2）若双曲线的焦点分别为、，点的坐标为，直线的斜率为，求由四点、、、所围成四边形的面积．

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴上，其横坐标为，且是首项为1、公比为2的等比数列，记，.

（1）若，求点的坐标；

（2）若点的坐标为，求的最大值及相应的值.

23. 难度：困难

已知定义在实数集上的偶函数和奇函数满足.

（1）求与的解析式；

（2）若定义在实数集上的以2为最小正周期的周期函数，当时，，试求在闭区间上的表达式，并证明在闭区间上单调递减；

（3）设（其中为常数），若对于恒成立，求的取值范围.