上海市2015-2016学年高二上学期期中数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知数列为等差数列，，，则______

2. 难度：简单

已知数列的前项和，则其通项公式为        

3. 难度：困难

已知，设为数列的最大项，则            ．

4. 难度：简单

在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，如果EH，FG相交于一点M，那么M一定在直线________上．

5. 难度：简单

在等差数列中，若,则该数列的通项公式=_____

6. 难度：简单

若存在，则实数的取值范围是_______

7. 难度：简单

已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为         .

8. 难度：中等

已知数列的通项公式为,设其前和为，则使成立的最小自然数等于_____.

9. 难度：困难

等比数列的公比，，则使成立的正整数的最大值为______

10. 难度：简单

数列的通项公式，其前和为，=_____

11. 难度：简单

在等差数列中，若，且它的前n项和有最大值，则当取得最小正值时，n的值为_______.

12. 难度：中等

设数列{a_n}的首项a₁＝，前n项和为S_n，且满足2a_n＋1＋S_n＝3(n∈N^*)，则满足的所有n的和为________．

13. 难度：中等

意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数；1，1,2,3,5,8,13，，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列为“斐波那契数列”.那么是斐波那契数列中的第___项.

14. 难度：中等

已知奇函数是定义在上的增函数，数列是一个公差为2的等差数列，满足，则的值为________.

二、单选题

15. 难度：中等

在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成角的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D.

16. 难度：简单

已知数列的各项均为正数，满足：对于所有,有，其中表示数列的前项和，则=（    ）

A.0 B.1 C. D.2

17. 难度：中等

某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一都有两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的，下星期一会有20%的人改选种菜，而选种菜的，下星期一会有30%的人改选种菜，用分别表示在第个星期一选种菜的人数和选种菜的人数，如果，则为（    ）

A.300 B.350 C.400 D.450

18. 难度：中等

数列满足，，记数列前项的和为，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为（  ）

A.10 B.9 C.8 D.7

三、解答题

19. 难度：中等

正四面体的棱长为a，分别为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值

 

20. 难度：简单

2014年联想集团以28亿收购摩托罗拉移动公司，并计划投资30亿元来发展改品牌，2014年摩托罗拉手机的销售量为100万部，据专家预测，从2015年起，摩托罗拉手机的销售量每年比上上一年增加100万部，每年的销售利润比上一年减少10%，已知2014年销售利润平均每部为300元.

（1）若2014年看作第一年，第n年的销售利润为多少？

（2）到2020年年底，中国联想集团能否通过摩托罗拉手机实现盈利？（即销售利润超过总投资）

21. 难度：困难

数列的前项和为，

（1）写出的值，并求的通项公式；

（2）正项等差数列的前项和为，且,并满足，成等比数列.

（i）求数列的通项公式

（ii）设，试确定与的大小关系，并给出证明.

22. 难度：困难

设函数（其中），，

（1）求的值

（2）设写出与的递推关系，并求的通项公式.

（3）设数列的通项公式为,数列的前项和为，

问1000是否为数列中的项？若是，求出相应的项数，若不是，请说明理由.

23. 难度：困难

已知数列的各项均为正数，，且对任意,都有，数列前n项的和.

（1）若数列是等比数列，求的值和；

（2）若数列是等差数列，求和的关系式；

（3），当时，求证: 是一个常数.