北京海淀区一零一中学2019-2020学年度上学期高三开学考数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知全集，集合，，则（　　）

A.{x|x≤0} B.{x|x≥0} C.{x|x<1} D.{x|0≤x<1}

2. 难度：简单

设i是虚数单位，则复数i²的模为（　　）

A. B.2 C.2 D.2

3. 难度：简单

下列函数中为偶函数的是（　　）

A. B.

C. D.

4. 难度：简单

已知、都是单位向量，则“”是“()⊥ ()”的（　　）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

如图，表n是(2n﹣1)×(2n﹣1)的方阵，最外层数字是n﹣1，由外而内每层数字递减1，最中心数字为0.表1的各数之和为0，表2的各数之和为8，表3的各数之和为40，则表6的各数之和为（　　）

A.420 B.440 C.460 D.480

6. 难度：困难

狄利克雷函数为F(x).有下列四个命题：①此函数为偶函数，且有无数条对称轴；②此函数的值域是；③此函数为周期函数，但没有最小正周期；④存在三点，使得△ABC是等腰直角三角形，以上命题正确的是（　　）

A.①② B.①③ C.③④ D.②④

7. 难度：中等

已知y=f(x+2)是奇函数，若函数g(x)=f(x)有k个不同的零点，记为x₁，x₂，…，x_k，则x₁+x₂+…+x_k=（　　）

A.0 B.k C.2k D.4k

8. 难度：中等

所谓声强，是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度，用I表示，人类能听到的声强范围很广，其中能听见的1000Hz声音的声强（约10^﹣12W/m²）为标准声强，记作I₀，声强I与标准声强I₀之比的常用对数称作声强的声强级，记作L，即L=lg，声强级L的单位名称为贝（尔），符号为B，取贝（尔）的十分之一作为响度的常用单位，称为分贝（尔）.简称分贝（dB）.《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事，设张飞大喝一声的响度为140dB.一个士兵大喝一声的响度为90dB，如果一群士兵同时大喝一声相当一张飞大喝一声的响度，那么这群土兵的人数为（　　）

A.1万 B.2万 C.5万 D.10万

二、填空题

9. 难度：简单

已知菱形ABCD的边长为1，∠B=60°，点E，F分别是边AB，BC的中点，则的值为_____.

10. 难度：简单

已知数列{a_n}是单调递减的等比数列，前n项和为S_n，S₂=3，a₃，则{a_n}的公比q=_____.

11. 难度：中等

知函数y=Asin (ωx+φ)+B(A>0，ω>0，|φ|)的部分图象如图所示，则φ的值为_____.

12. 难度：中等

关于的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是__________．

三、解答题

13. 难度：中等

已知函数f(x)=|lgx|，若f(a)=f(b)(a≠b)，则函数的最小值为_____.

四、填空题

14. 难度：困难

已知函数，则直线y=x+1与曲线的交点个数为_____；若关于x的方程有三个不等实根，则实数a的取值范围是_____.

五、解答题

15. 难度：中等

以数列的任意相邻两项为坐标的点，均在一次函数y=2x+k的图象上，数列满足，且.

（1）求证数列为等比数列，并求出数列的公比；

（2）设数列，的前n项和分别为S_n，T_n，若S₆=T₄，S₅=﹣9，求k的值.

16. 难度：简单

已知函数.

（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；

（2）求函数在内的所有零点.

17. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，.

（1）若，求的值；

（2）求的取值范围.

18. 难度：中等

已知函数其中a为常数，设e为自然对数的底数.

（1）当时，求过切点为的切线方程；

（2）若在区间上的最大值为，求a的值；

（3）若不等式恒成立，求a的取值范围.

19. 难度：困难

已知函数

（1）求的单调区间和值域；

(2) 设，函数，，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值．

20. 难度：困难

设为有限集合，，，…，为的子集，表示集合中元素的个数，已知对于每个正整数，都有.

（1）记为元素个数为m的集合，当时，求集合的所有子集的个数；

（2）若一定有集合中的某个元素在至少个集合中出现，则最大值是多少？并加以证明.