天津市滨海新区2018-2019学年高二上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设为虚数单位，则复数（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

命题“，”的否定是（    ）

A.， B.，

C.， D.，

3. 难度：简单

若实数、满足条件，则下列不等式一定成立的是（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

椭圆的焦距为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

在等比数列中，若，，则数列的前6项和（    ）

A.130 B.128 C.126 D.62

6. 难度：简单

已知是虚数单位，若复数是纯虚数的充要条件是（    ）

A. B. C. D.或

7. 难度：中等

如图，四棱锥中，平面，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

“”是“方程表示椭圆”的（    ）

A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

9. 难度：中等

如图是抛物线形拱桥，当水面在图中位置时，拱顶离水面，水面宽.水下降后（水足够深），水面宽为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知，若2是与等比中项，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.3

11. 难度：中等

数列满足，若对，都有，则（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆和双曲线的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点、；、分别在左右两部分实线上运动，则周长的最小值为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

若（，为虚数单位），则的值为______.

14. 难度：简单

不等式的解集为______.

15. 难度：简单

已知，，若，则的最大值为______.

16. 难度：中等

已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则实数______.

17. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为______.

18. 难度：中等

已知关于的不等式的解集为，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为______.

19. 难度：中等

已知抛物线：的焦点为，是抛物线上一点，的延长线交轴的正半轴于点.交抛物线的准线于点，若为的中点，则______.

20. 难度：中等

给出下列命题：①等比数列1，，，，…（）的前项和为；②等差数列中，若，，则该数列的前13项或14项之和最大；③若等差数列公差为，则其前项和；④若等比数列单调递增的充要条件是首项，且公比；⑤若数列满足，，则.其中正确的是______（把你认为正确的命题序号都填上）.

三、解答题

21. 难度：中等

已知等差数列满足：，，为其前项和，.

（Ⅰ）求数列的通项公式、前项和；

（Ⅱ）设数列满足，且，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式.

22. 难度：中等

如图，长方体中，，，为棱中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求平面与平面所成锐二面角的大小.

23. 难度：中等

已知数列的前项和为，且，数列满足:，.

(Ⅰ)分别求数列，的通项公式;

(Ⅱ)若，求数列的前项和;

(Ⅲ)若对，恒成立，求实数的取值范围.

24. 难度：困难

设椭圆:的左右焦点分别为，，上顶点为.

(Ⅰ)若.

(i)求椭圆的离心率;

(ii)设直线与椭圆的另一个交点为，若的面积为，求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)由椭圆上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形，当时，若以为直角顶点的椭圆的内接等腰直角三角形恰有3个，求实数的取值范围.