2020届湖北省高三第二次联考数学试卷理科试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

复数z满足，则（　　）.

A. B. C. D.

3. 难度：中等

若实数，满足，则的最大值是（    ）

A.-4 B.-2 C.2 D.4

4. 难度：中等

非零向量满足且,的夹角为（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

中华人民共和国国歌有个字，小节，奏唱需要秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的等级从高到低分为：公、侯、伯、子、男，共有五级.若给有巨大贡献的甲、乙两人进行封爵，则甲比乙获封等级高的概率为（　　）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

已知，则实数a的取值范围是（　　）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

已知，则（　　）

A. B. C. D.

9. 难度：简单

已知符号函数那么的大致图象是（ ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知为椭圆上的两个动点，,且满足,则的取值范围为      （     ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

设数列的前项和为，且，，则的最小值是（　　）

A. B.2 C. D.3

12. 难度：中等

如图，已知四面体ABCD的各条棱长均等于4，E，F分别是棱AD、BC的中点.若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（　　）

A. B.4 C. D.6

二、填空题

13. 难度：简单

设为所在平面内一点，，若，则__________．

14. 难度：简单

若的展开式中项的系数为20，则________.

15. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作圆的切线，与双曲线的右支交于点，且。则双曲线的离心率为________________。

16. 难度：中等

为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，武汉大学团队带领湖北省大悟县新城镇熊湾村村民建立有机、健康、高端、绿色的蔬菜基地，并策划“生产、运输、销售”一体化的直销供应模式，据统计，当地村民两年时间成功脱贫.蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份10元的价格销售到生鲜超市，每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）.该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量（单位：份），制成如下表格（注：，且）.若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，若购进17份比购进18份的利润的期望值大，则x的最小值是________.

前8小时内销售量	15	16	17	18	19	20	21
频数	10	x	16	16	15	13	y

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列的前项和为，且满足.

（Ⅰ）求证：数列为等比数列；

（Ⅱ）求数列的前项和.

18. 难度：中等

如图，四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E为PC上一点，当F为DC的中点时，EF平行于平面PAD.

（Ⅰ）求证：平面PCB；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

19. 难度：困难

已知椭圆的离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线过点且与椭圆相交于两点.过点作直线的垂线，垂足为.证明直线过轴上的定点.

20. 难度：中等

已知函数.

（Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）若，，，求证：.

21. 难度：困难

在三棱锥中，已知、均是边长为2的正三角形，在平面内，侧棱.现对其四个顶点随机贴上写有数字1~8的八个标签中的四个，并记对应的标号为（取值为、、、），为侧棱上一点.

（1）求事件“为偶数”的概率.

（2）若，求“二面角的平面角大于”的概率.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设为曲线上的点，，垂足为，若的最小值为，求的值．

23. 难度：中等

已知函数，．

（Ⅰ）若，求的取值范围；

（Ⅱ）若，对，，都有不等式恒成立，求的取值范围．