上海市六校2016届高三下学期3月综合素养调研（理）数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

复数的模为______

2. 难度：简单

函数的最小正周期为______

3. 难度：简单

抛物线的准线方程为__________．

4. 难度：简单

在的二项展开式中，项的系数为______

5. 难度：简单

已知地球的半径为6371千米，上海位于约东经，北纬，台北的位置约为东经，北纬，则两个城市之间的球面距离约为______千米（结果精确到1千米）

6. 难度：简单

直线l的方程为，则直线l的倾斜角为______.

7. 难度：简单

已知，，则______

8. 难度：简单

已知递增的等差数列的公差为d，又，，，，这5个数列的方差为3，则______

9. 难度：简单

已知直线经过点，且被圆截得的弦长为，则这条直线的方程为______

10. 难度：中等

设函数是最小正周期为2的偶函数，它在区间上的图象为如图所示的线段，则方程的最大实数根的值为______

11. 难度：中等

已知等比数列的公比为，它的前项积为，且满足，，，给出以下四个命题：① ；② ；③ 为的最大值；④ 使成立的最大的正整数为4031；则其中正确命题的序号为________

12. 难度：中等

已知,,为空间三个向量，又,是两个相互垂直的单位向量，向量满足，,，则对于任意实数x，y，的最小值为______

13. 难度：中等

在极坐标下，定义两个点和（，，，）的“极坐标中点“为，设点A、B的极坐标为与，设M为线段的中点，N为点A、B的”极坐标中点“，则线段的长度的平方为______

14. 难度：困难

先阅读参考材料，再解决此问题：

参考材料：求抛物线弧（）与x轴及直线所围成的封闭图形的面积

【解析】
把区间进行n等分，得个分点（），过分点，作x轴的垂线，交抛物线于，并如图构造个矩形，先求出个矩形的面积和，再求，即是封闭图形的面积，又每个矩形的宽为，第i个矩形的高为，所以第i个矩形的面积为；

所以封闭图形的面积为

阅读以上材料，并解决此问题：已知对任意大于4的正整数n，

不等式恒成立，

则实数a的取值范围为______

二、单选题

15. 难度：简单

函数是实数集R上的偶函数，且在上是单调递增函数，若，则实数a的取值范围是（    ）

A. B.或 C. D.

16. 难度：中等

复数z满足，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

17. 难度：中等

给定正三棱锥，点M为底面正内(含边界)一点，且M到三个侧面,的距离依次成等差数列，则点M的轨迹为(  )

A.椭圆的一部分 B.一条线段

C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分

18. 难度：中等

某年数学竞赛请自以为来自X星球的选手参加填空题比赛，共10道题目，这位选手做题有一个古怪的习惯：先从最后一题（第10题）开始往前看，凡是遇到会的题就作答，遇到不会的题目先跳过（允许跳过所有的题目），一直看到第1题；然后从第1题开始往后看，凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案，遇到先前已答的题目则跳过（例如，他可以按照9,8,7,4,3,2,1,5,6,10的次序答题），这样所有的题目均有作答，设这位选手可能的答题次序有n种，则n的值为（    ）

A.512 B.511 C.1024 D.1023

三、解答题

19. 难度：中等

在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且；

（1）求的值；

（2）若，且，求的值．

20. 难度：中等

在长方体中，，，求：

（1）顶点到平面的距离；

（2）二面角的大小（结果用反三角表示）

21. 难度：困难

已知，，，且

（1）当时，请写出的单调递减区间；

（2）当时，设对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间的长度定义为）求l关于a的表达式，并求出l的取值范围.

22. 难度：困难

已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）点P，Q在椭圆上，O为坐标原点，且直线，的斜率之积为，求证：为定值；

（3）直线l过点且与椭圆交于A，B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由.

23. 难度：困难

已知函数的图象是自原点出发的一条折线，当（）时，该图象是斜率为的线段，其中常数且，数列由（）定义.

（1）若，求，；

（2）求的表达式及的解析式（不必求的定义域）；

（3）当时，求的定义域，并证明的图象与的图象没有横坐标大于1的公共点.