福建省泉州市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知向量．若，则（          ）

A.-1 B.0 C.1 D.2

2. 难度：简单

在等差数列中，若，则公差（          ）

A.1 B.2 C.3 D.4

3. 难度：简单

过点且与直线平行的直线方程是（          ）

A. B. C. D.

4. 难度：中等

已知各项均为正数的等比数列单调递增，且，则（          ）

A.24 B.36 C.48 D.54

5. 难度：简单

若双曲线经过点，则的渐近线方程是（          ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

记为数列的前项和．若点，在直线上，则（          ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

已知正四棱锥的底面边长为，高为，则此四棱锥的侧棱与底面所成角的大小为（          ）

A.30° B.45° C.60° D.75°

8. 难度：中等

若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的2倍，则（          ）

A. B. C.1 D.2

9. 难度：中等

已知圆与直线及均相交，若四个交点围成的四边形价为正方形，则的半径为（          ）

A.3 B. C.2 D.1

10. 难度：困难

圆锥曲线与空间几何体具有深刻而广泛的联系，如图所示，底面半径为1，高为3的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱下底而相切，作不与圆柱底面平行的平面与球相切于点，若平面与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线，是以为一个焦点的椭圆，则的离心率的取值范围是（          ）

A. B. C. D.

二、多选题

11. 难度：中等

记为等差数列的前项和．若，则以下结论一定正确的是（          ）

A. B.的最大值为

C. D.

12. 难度：困难

如图，正三棱柱中，、点为中点，点为四边形内（包含边界）的动点则以下结论正确的是（          ）

A.

B.若平面，则动点的轨迹的长度等于

C.异面直线与，所成角的余弦值为

D.若点到平面的距离等于，则动点的轨迹为抛物线的一部分

三、填空题

13. 难度：简单

抛物线的焦点坐标是______________，准线方程是_____________．

14. 难度：中等

记为各项均为正数的等比数列的前项和．若，则公比_________，____________．

15. 难度：中等

已知圆，则圆心到直线的距离为____________．若为上任意一点，过作的切线，则切线长最短时的切线方程为_____________．

16. 难度：困难

几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款面向中学生的应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动。这款软件的激活码为下面数学题的答案：记集合．例如：，若将集合的各个元素之和设为该软件的激活码，则该激活码应为____________；

定义现指定，将集合的元素从小到大排列组成数列，若将的各项之和设为该软件的激活码，则该激活码应为_____________．

四、解答题

17. 难度：简单

已知公差不为零的等差数列满足是与的等比中项．

（1）求的通项公式；

（2）是否存在值，使得的前项和？

18. 难度：简单

已如圆的圆心在直线上．且经过点．

（1）求的标准方程；

（2）过点的直线被所截得的弦长为4，求的方程．

19. 难度：中等

已知顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线过点．

（1）求的标准方程；

（2）若直线与交于两点，证明：．

20. 难度：中等

已知数列满足．

（1）设，求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

21. 难度：困难

折纸与数学有着千丝万缕的联系，吸引了人们的广泛兴趣．因纸的长宽比称为白银分割比例，故纸有一个白银矩形的美称．现有一张如图1所示的纸，．

分别为的中点，将其按折痕折起（如图2），使得四点重合，重合后的点记为，折得到一个如图3所示的三棱锥．记为的中点，在中，为边上的高．

（1）求证：平面；

（2）若分别是棱上的动点，且．当三棱锥的体积最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

22. 难度：困难

已知的两个顶点的坐标分别是，，且直线的斜率之积是．

（1）是否存在定点，使得为定值？

（2）设点的轨迹为，点是上互异的三点，且关于轴对称，．求证：直线恒过定点．