2020届湖北省、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校高三上学期期末考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

复数满足，则在复平面上对应的点位于(    )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2. 难度：简单

已知全集，集合，集合，则(    )

A. B. C. D.

3. 难度：中等

已知，则(    )

A. B. C. D.

4. 难度：中等

据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多（为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（　　）

A.2盏 B.3盏 C.26盏 D.27盏

5. 难度：简单

若直线截得圆的弦长为，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数的图象大致是(    )

A.

B.

C.

D.

7. 难度：简单

函数的图像可由函数的图像至少向右平移(    )个单位长度得到．

A. B. C. D.

8. 难度：简单

若向量与的夹角为，，，则＝(    )

A.  B.1 C.4 D.3

9. 难度：中等

如图，和是圆两条互相垂直的直径，分别以,,,为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（  ）

A.  B.  C.  D.

10. 难度：困难

设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是(    )

A. B. C. D.

11. 难度：中等

是球的直径，、是该球面上两点，，，棱锥的体积为，则球的表面积为(    )

A. B. C. D.

12. 难度：困难

关于函数，下列说法正确的是(    )

（1）是的极小值点；

（2）函数有且只有1个零点；

（3）恒成立；

（4）设函数，若存在区间，使在上的值域是，则.

A.(1) (2) B.(2)(4) C.(1) (2) (4) D.(1)(2)(3)(4)

二、填空题

13. 难度：简单

已知曲线，则其在点处的切线方程是______．

14. 难度：简单

已知是等比数列的前项和，成等差数列，，则___．

15. 难度：简单

根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动，则周一、周二都有专家参加调研活动的概率为____．

16. 难度：中等

在平面直角坐标系中，双曲线的上支与焦点为的抛物线交于两点．若，则该双曲线的渐近线方程为___．

三、解答题

17. 难度：中等

在中，角、、所对的边分别为、、，且，．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，，求及的面积.

18. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，和都是正三角形， ， E、F分别是AC、BC的中点，且PD⊥AB于D.

（Ⅰ）证明：直线⊥平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值．

19. 难度：中等

为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过分时，按元/分计费；超过分时，超出部分按元/分计费．已知王先生家离上班地点公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间 (分)是一个随机变量．现统计了次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：

时间（分）
频数

将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分．（1）写出王先生一次租车费用（元）与用车时间（分）的函数关系式；（2）若王先生一次开车时间不超过分为“路段畅通”，设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望.

20. 难度：中等

已知椭圆（）的离心率为，短轴长为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围．

21. 难度：困难

已知函数，.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，令，其导函数为，设是函数的两个零点，判断是否为的零点？并说明理由.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.

（Ⅰ）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线经过曲线的焦点且与曲线相交于两点，设线段的中点为，求的值.

23. 难度：简单

设函数f（x）=丨x+a+1丨+丨x-丨，（a＞0）．

(1)证明：f（x）≥5；

（2）若f（1）＜6成立，求实数a的取值范围．