2016届上海市黄浦区高三4月第二次模拟（理）数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，集合，若，则实数_____________.

2. 难度：简单

计算：________.

3. 难度：简单

函数的反函数_______.

4. 难度：中等

函数的最小正周期是____．

5. 难度：中等

在极坐标系中，直线与直线的夹角大小为_____（结果用反三角函数值表示）.

6. 难度：简单

已知棱形，若，，则向量在上的投影为_______.

7. 难度：简单

已知一个凸多面体的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如图所示，若该凸多面体所有棱长均为，则其体积_____.

8. 难度：简单

已知函数，若的定义域中的、满足，则_____.

9. 难度：中等

在的展开式中，常数项为_________________.

10. 难度：中等

若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆短轴长为____________.

11. 难度：中等

有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各个，在每种颜色的个小球上分别标上号码、和，现任取出个，它们的颜色与号码均不相同的概率是_____(结果用最简分数表示).

12. 难度：中等

设离散型随机变量可能取的值为，，，（），若的数学期望，则_____.

13. 难度：中等

正整数、满足，若关于、的方程组有且只有一组解，则的最大值为_____.

14. 难度：简单

已知数列中，若，则满足的i的最小值为______．

二、单选题

15. 难度：中等

已知直角坐标平面上两条直线方程分别为，，那么“”是“两直线、平行”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

16. 难度：简单

若（为虚数单位）在复平面上的点不可能位于（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

17. 难度：简单

若△的三条边，，满足，则△(    )

A.一定是锐角三角形

B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形

D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

18. 难度：困难

若函数的定义域与区间的交集由个开区间组成，则的值为（    ）

A. B. C. D.

三、解答题

19. 难度：中等

如图，小凳凳面为圆形，凳脚为三根细钢管.考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点与凳面圆形的圆心的连线垂直于凳面和地面，且分细钢管上下两段的比值为，三只凳脚与地面所成的角均为.若、、是凳面圆周的三等分点，厘米，求凳子的高度及三根细钢管的总长度(精确到).

20. 难度：中等

已知函数，其中、为非零实常数.

(1)若，的最大值为，求、的值.

(2)若，是图像的一条对称轴，求的值，使其满足，且.

21. 难度：中等

已知函数，其中.

(1)证明：函数在上为增函数.

(2)证明：不存在负实数使得.

22. 难度：困难

已知数列的通项公式为，其中，、.

(1)试写出一组、的值，使得数列中的各项均为正数.

(2)若，，数列满足，且对任意的()，均有，写出所有满足条件的的值.

(3)若，数列满足，其前项和为，且使(、，)的和有且仅有组，、、…、中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求、的最小值.

23. 难度：困难

对于双曲线：（），若点满足，则称在的外部；若点满足，则称在的内部.

（1）若直线上点都在的外部，求的取值范围；

（2）若过点，圆（）在内部及上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求、满足的关系式及的取值范围；

（3）若曲线（）上的点都在的外部，求的取值范围.