上海市2017届高三上学期开学摸底考试数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知复数(是虚数单位)对应的点在二､四象限的角平分线上,则实数______.

2. 难度：中等

已知集合,,,则图中阴影部分表示的集合是______.

3. 难度：简单

函数的最小正周期是，则实数________

4. 难度：中等

直线与直线，若的方向向量是的法向量，则实数  ．

5. 难度：简单

函数的反函数是，则方程的解是________

6. 难度：中等

二项式的展开式中，含的项的系数是___________.

7. 难度：简单

已知圆锥的底面半径为3，体积是，则圆锥侧面积等于___________.

8. 难度：简单

某小组有10人，其中血型为A型有3人，B型4人，AB型3人，现任选2人，则此2人是同一血型的概率为         .（结论用数值表示）

9. 难度：简单

双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则实数的值为_____________．

10. 难度：中等

在平面坐标系中,动点和点､满足,则动点的轨迹方程为______.

11. 难度：简单

某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为_____．

12. 难度：中等

函数，若＜2恒成立的充分条件是，则实数的取值范围是______．

13. 难度：困难

一个五位数满足,,,且,(如37201､45412),则称这个五位数符合“正弦规律”,那么,共有______个五位数符合“正弦规律”.

14. 难度：简单

关于函数，给出以下四个命题：（1）当时，单调递减且没有最值；（2）方程一定有实数解；（3）如果方程（为常数）有解，则解得个数一定是偶数；（4）是偶函数且有最小值.其中假命题的序号是____________.

二、单选题

15. 难度：简单

设，则下列不等式一定成立的是（ ）

A.     B.     C.     D.

16. 难度：中等

为了得到函数的图像，只需把函数的图像（    ）

A.向右平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍；

B.向左平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的3倍；

C.向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的倍；

D.向左平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的倍

17. 难度：中等

已知函数,则的值为(    )

A. B. C. D.

18. 难度：困难

已知集合,若对于任意,存在,使得成立,则称集合是“垂直对点集”,给出下列四个集合:

①;②;③;④;其中是“垂直对点集”的序号是(    )

A.①② B.②③ C.②④ D.①④

三、解答题

19. 难度：中等

如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,平面,与平面所成角的大小为,为的中点,求异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数表示)

20. 难度：中等

已知是椭圆上一动点.

(1)记点,求的取值范围;

(2)记点,当且仅当为椭圆右顶点时最小,求实数的取值范围.

21. 难度：中等

如图，设是单位圆上一点，一个动点从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.秒时，动点到达点，秒时动点到达点.设，其纵坐标满足.

（1）求点的坐标，并求；

（2）若，求的取值范围.

22. 难度：中等

已知函数f(x)＝x²＋(x－1)|x－a|.

(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；

(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；

(3)是否存在实数a，使不等式f(x)≥2x－3对任意x∈R恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

23. 难度：困难

设是数列的前项和，对任意都有成立（其中是常数）.

（1）当时，求：

（2）当时，

①若，求数列的通项公式：

②设数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“数列”，如果，试问：是否存在数列为“数列”，使得对任意，都有，且，若存在，求数列的首项的所有取值构成的集合；若不存在．说明理由.