上海市2017届高三上学期12月月考数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知复数,则复数的虚部为______.

2. 难度：简单

已知集合，，则等于__．

3. 难度：简单

已知，，，则__．

4. 难度：简单

不等式的解集为__．

5. 难度：简单

函数图象的一条对称轴是直线，则__．

6. 难度：简单

已知函数是偶函数，的奇函数，它们的定义域为，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集为__．

7. 难度：简单

如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为__．

8. 难度：简单

已知动点符合条件，则范围为__．

9. 难度：简单

在的展开式中有__项为有理数．

10. 难度：中等

若，构造方程，则该方程表示的曲线为落在矩形区域内的椭圆的概率是_________.

11. 难度：中等

若关于的方程，（且）有解，则的取值范围是__．

12. 难度：中等

已知正方体棱长为1，动点在此正方体的表面上运动，且，记点的轨迹长度为，则关于的方程的解集为__．

二、单选题

13. 难度：简单

“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（    ）条件．

A.充分非必要 B.必要非充分

C.充分必要 D.既非充分又非必要

14. 难度：简单

已知,,满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（    ）

A. B. C. D.

15. 难度：简单

如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图，在平面直角坐标系中，下列给定的一系列直线中（其中为参数，），能形成这种效果的只可能是（    ）

A. B.

C. D.

16. 难度：简单

已知函数（，为常数，，）的图象关于对称，则函数是（    ）

A.偶函数且它的图象关于点对称

B.偶函数且它的图象关于点对称

C.奇函数且它的图象关于点对称

D.奇函数且它的图象关于点对称

17. 难度：简单

对于正整数，定义“”如下：当为偶数时，；当为奇数时，；则：

①；

②；

③的个位数是0；

④的个位数是5；

上述命题中，正确的命题有（    ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

18. 难度：困难

在正方体中,若点(异于点)是棱上一点,则满足与所成的角为的点的个数为（    ）

A.0 B.3 C.4 D.6

三、解答题

19. 难度：简单

如图，四棱锥的底面是边长为1的菱形，其中，垂直于底面，；

（1）求四棱锥的体积；

（2）设棱的中点为，求异面直线与所成角的大小．

20. 难度：中等

函数和的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点，，且.

（1）设曲线，分别对应函数和，请指出图中曲线，对应的函数解析式，若不等式对任意恒成立，求的取值范围；

（2）若，，且、，求、的值.

21. 难度：困难

已知m＞1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点.

（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为.若原点在以线段，为直径的圆内，求实数的取值范围.

22. 难度：中等

如图一块长方形区域，，，在边的中点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，设，探照灯照射在长方形内部区域的面积为.

（1）当时，求关于的函数关系式；

（2）当时，求的最大值；

（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（自转到，再回到，称“一个来回”，忽略在及处所用的时间），且转动的角速度大小一定，设边上有一点，且，求点在“一个来回”中被照到的时间.

23. 难度：困难

设函数，.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若为正整数，设的解集为，求及数列的前项和；

（3）对于（2）中的数列，设，求数列的前项和的最大值.