上海市2017届高三上学期10月月考数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合,集合,则______

2. 难度：简单

设复数,若,则的值等于________

3. 难度：简单

已知圆与直线相切，则圆的半径     ．

4. 难度：简单

在正四棱柱中，底面的边长为，与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于__________

5. 难度：简单

已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：的右焦点重合，则抛物线的方程是       ．

6. 难度：中等

在二项式的展开式中，的一次项系数为      ．（用数字作答）

7. 难度：简单

已知角的顶点在坐标原点,始边与轴的正半轴重合,角的终边与圆心在原点的单位圆(半径为的圆)交于第三象限内的点,则______(用数值表示)

8. 难度：简单

设无穷等比数列的公比,则_____

9. 难度：简单

某几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积是______

10. 难度：中等

在中,已知,且的面积,则的值为____

11. 难度：简单

现有个数，它们能构成一个以为首项，为公比的等比数列，若从这个数中随机抽取一个数，则它小于的概率是______．

12. 难度：简单

设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中．若，则的值为        ．

13. 难度：中等

定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C₁：y＝x ²＋a到直线l：y＝x的距离等于C₂：x ²＋(y＋4) ² ＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝______________．

14. 难度：中等

已知,定义:表示不小于的最小整数.如等，若,则正实数的取值范围是_____

二、单选题

15. 难度：中等

已知直线l和平面α，无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l(　　)

A.相交 B.平行

C.垂直 D.异面

16. 难度：简单

已知向量，则下列能使成立的一组向量是（ ）．

A.

B.

C.

D.

17. 难度：中等

若，满足，则的最大值为（ ）

A.0 B.3 C.4 D.5

18. 难度：中等

设函数，其中，，若，，是的三条边长，则下列结论中正确的是（    ）

①对一切都有；

②存在，使，，不能构成一个三角形的三条边长；

③若为钝角三角形，则存在，使；

A.①②； B.①③； C.②③； D.①②③；

三、解答题

19. 难度：中等

如图，四棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.

（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;

（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

20. 难度：中等

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.

（1）求角C；（2）若，，求的周长.

21. 难度：困难

如图,圆与长轴是短轴两倍的椭圆:相切于点

(1)求椭圆与圆的方程;

(2)过点引两条互相垂直的两直线与两曲线分别交于点与点(均不重合).若为椭圆上任一点,记点到两直线的距离分别为,求的最大值,并求出此时的坐标.

22. 难度：困难

已知集合函数,函数的值域为,

(1)若不等式的解集为,求的值;

(2)在(1)的条件下,若恒成立,求的取值范围;

(3)若关于的不等式的解集,求实数的值

23. 难度：困难

记.对数列和的子集，若，定义；若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.

（1）求数列的通项公式；

（2）对任意正整数，若，求证：；

（3）设，求证：.