2020届辽宁省、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末数学（文）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

欧拉公式：被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合，则集合A不含无理数的子集共有(   )

A.8个 B.7个 C.4个 D.3个

2. 难度：简单

已知，，，则，，的大小关系为（）

A.  B.  C.  D.

3. 难度：简单

若，且，则的最小值是(   )

A.4 B. C.5 D.

4. 难度：中等

“”是圆锥曲线的焦距与实数无关的（    ）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

5. 难度：简单

函数的图像关于直线对称，则的可能值为(   )

A. B. C. D.

6. 难度：简单

已知数列满足：，则(   )

A.16 B.25 C.28 D.33

7. 难度：简单

如图，在复平面内点P对应的复数，将点P绕坐标原点O逆时针旋转到点Q，则点Q对应的复数的虚部为(   )

A. B. C. D.

8. 难度：简单

设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是

A. B.

C. D.

9. 难度：简单

福彩是利国利民游戏，其刮刮乐之《蓝色奇迹》：如图（1）示例，刮开票面看到最左侧一列四个两位数字为“我的号码”，最上行四个两位数为“中奖号码”，这八个两位数是00至99这一百个数字随机产生的，若两个数字相同即中得其相交线上的奖金，奖金可以累加.小明买的一张《蓝色奇迹》刮刮乐如图（2），除了一个“我的号码”外，他已经刮开票面上其它所有数字，依据目前的信息，小明从这张刮刮乐得到的奖金额高于600元的概率为（无所得税）(   )

   

图（1）                              图（2）

A. B. C. D.

10. 难度：简单

如图圆锥PO，轴截面PAB是边长为2的等边三角形，过底面圆心O作平行于母线PA的平面，与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其顶点E的距离为(   )

A.1 B. C. D.

11. 难度：简单

已知A，B是半径为的球面上的两点，过AB作互相垂直的两个平面，若球心到截该球所得两个截面距离平方之和为8，则线段AB的长度是(   )

A. B.2 C. D.4

12. 难度：中等

设函数由方程到确定，对于函数给出下列命题：

①对任意，都有恒成立：

②，使得且同时成立；

③对于任意恒成立；

④对任意，，

都有恒成立.其中正确的命题共有(   )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

二、填空题

13. 难度：简单

已知是夹角为的两个单位向量，，若则________.

14. 难度：简单

网上购鞋常常看到下面的表格：

脚长（单位mm）	220	225	230	235	240	245	250	255	260	265
鞋号	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43

依据表中脚长与鞋号的对应规律，计算30号童鞋对应的脚长是________mm.

15. 难度：简单

己知等差数列的公差不为零，其前n项和，若成等比数列，则________.

16. 难度：困难

己知函数，若不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是________.

三、解答题

17. 难度：简单

高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B、E、F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为、、，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2.

（1）求出线段AE的长度；

（2）求出隧道CD的长度.

18. 难度：中等

如图，等腰梯形ABCD中，，E为CD中点，将沿AE折到的位置.

（1）证明：；

（2）请你求出在沿AE任意折叠过程中所得四棱锥体积的最大值.

19. 难度：中等

足球是世界普及率最高的运动，我国大力发展校园足球.为了解本地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：

年份x	2014	2015	2016	2017	2018
足球特色学校y（百个）	0.30	0.60	1.00	1.40	1.70

（1）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱.

（已知：，则认为y与x线性相关性很强；，则认为y与x线性相关性一般；，则认为y与x线性相关性较）：

（2）求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2020年足球特色学校的个数（精确到个）.

参考公式和数据：，

，

.

20. 难度：中等

如图所示，取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套得一个标志，为美观考虑，要求图中标记的①、②、③）三个区域面积彼此相等.（已知：椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积，即椭圆面积为）

（1）求椭圆的离心率的值；

（2）已知外椭圆长轴长为6，用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切，移动角尺绕外椭圆一周，得到由点M生成的轨迹将两椭圆围起来，整个标志完成.请你建立合适的坐标系，求出点M的轨迹方程.

21. 难度：中等

已知，函数.

（1）是函数数的导函数，记，若在区间上为单调函数，求实数a的取值范围；

（2）设实数，求证：对任意实数，总有成立.

附：简单复合函数求导法则为.

22. 难度：中等

在极坐标系中，已知曲线的方程为，曲线的方程为．以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系．

（1）求曲线，的直角坐标方程；

（2）若曲线与轴相交于点，与曲线相交于，两点，求的值．

23. 难度：中等

已知函数

（Ⅰ）当时，解不等式；

（Ⅱ）若关于的不等式有解，求实数的取值范围