上海市2017届高三上学期开学考试数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

若，则________.

2. 难度：简单

函数的反函数是________

3. 难度：简单

已知向量、满足，，，则与的夹角的大小为________

4. 难度：简单

不等式的解是________.

5. 难度：简单

计算________.

二、解答题

6. 难度：中等

已知圆心为(2，－3)，一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴上，则圆的方程是______________．

三、填空题

7. 难度：中等

正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上.若，则球的体积是______．

8. 难度：中等

在的展开式中，的系数是________.

9. 难度：中等

在中，角、、的对边分别是、、，若，，，则边的长为________.

10. 难度：中等

函数，的值域是________.

11. 难度：中等

已知函数的值域是，则的取值范围是________.

12. 难度：中等

对于给定的复数，若满足的复数对应的点的轨迹是椭圆，则的取值范围是________

13. 难度：中等

定义函数：对于任意实数，如果存在整数满足，那么，设函数，以下命题：

①函数是奇函数；

②函数的值域为；

③方程有无数【解析】

④函数的最小正周期为；

⑤函数不存在单调递减区间.

其中真命题是________.

14. 难度：中等

已知集合且，对且含有三个元素，记为中所有元素之和，那么全体的总和等于________.

四、单选题

15. 难度：简单

若、，且，则下列不等式恒成立的是（    ）

A. B. C. D.

16. 难度：中等

已知，，则“”是“直线与直线平行”的（    ）条件

A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要

17. 难度：中等

若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：，，，，则“同形”函数是（    ）

A.与 B.与 C.与 D.与

18. 难度：中等

已知无穷等比数列的首项是，公比为，这个数列的前项和总是大于这个数列的各项和，那么下列结论正确的是（    ）

A. B. C. D.

五、解答题

19. 难度：中等

在矩形中，，，平面，三棱锥的体积等于，求异面直线与所成角的大小.

20. 难度：中等

已知数列的前项和为，满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）数列满足，，求数列的前项和.

21. 难度：中等

（1）已知、、、是正实数，求证：，当且仅当时等号成立；

（2）求的最小值，并指出取最小值时的值.

22. 难度：困难

已知点是椭圆上任一点，点到直线：的距离为，到点的距离为，且，若直线与椭圆交于不同两点、（、都在轴上方），且.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线的方程；

（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由.

23. 难度：中等

如果函数的定义域为，且存在实常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”.

（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有的值，若不具有“性质”，请说明理由；

（2）已知具有“性质”，且当时，，求在的最大值；

（3）已知函数既具有“性质”，又具有“性质”且当时，，若函数图象与直线的公共点有个，求的取值范围.