江西省赣州市2019-2020学年高二上学期期中数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

某单位职工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，为了了解职工的建康状况，用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，则应抽查的老年人的人数为（  ）

A.3 B.5 C.2 D.1

2. 难度：简单

已知向量，，且，则m＝（　　）

A.8 B.﹣8 C.﹣2 D.2

3. 难度：简单

点到原点的距离为（　　）

A.1 B.3 C.5 D.9

4. 难度：简单

甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别用、表示，则下列结论正确的是( )

A.，且甲比乙成绩稳定 B.，且乙比甲成绩稳定

C.，且甲比乙成绩稳定 D.，且乙比甲成绩稳定

5. 难度：中等

在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点O为线段BD的中点，设点P在直线CC₁上，直线OP与B₁D₁所成的角为，则为（　　）

A.1 B. C. D.变化的值

6. 难度：中等

已知两条不同的直线m、n及平面α、β，则下列命题正确的是（　　）

A.若m∥α，n⫋α，则m∥n

B.若m⊥α，m∥n，则n⊥α

C.若m∥α，n∥α，则m∥n

D.若m⊥α，n⫋β且 m⊥n，则α∥β

7. 难度：中等

某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为，其内切球的表面积为，且，则（）

A.1 B. C. D.

8. 难度：简单

某公司有3000名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查，若84号被抽到则下面被抽到的是（　　）

A.44号 B.294号 C.1196号 D.2984号

9. 难度：中等

△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且acosB＝（2c﹣b）cosA，则角A的大小为（　　）

A. B. C. D.

10. 难度：简单

《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，且有BD⊥CD，AB＝BD＝1，CD＝2，若该鳖臑的顶点都在一个球面上，则该球的体积为（　　）

A. B. C. D.24π

11. 难度：简单

过点作圆的两条切线，切点分别为，，则（   ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E，若SA＝3，，则△SED的面积的最小值为（　　）

A.9 B. C.7 D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知正六棱柱的高为2，底面边长为1，则该正六棱柱表面积为_____．

14. 难度：简单

从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：cm）数据绘制成如图所示的频率分布直方图，则身高在[120，130)内的学生人数为__．

15. 难度：中等

设的内角的对边分别为，且，则________．

16. 难度：困难

如图，在Rt△ABC中，，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，使得二面角B﹣CD﹣A为直二面角，则此时线段AB的长度为_____．

三、解答题

17. 难度：中等

已知三点A（1，0），B（0，1），C（2，5）．

（1）若向量与的夹角为θ，求cosθ；

（2）当m为何值时，向量m与垂直．

18. 难度：简单

如图，在三棱锥中,是边长为4的正三角形,是中点，平面平面, ,分别是的中点.

(1) 求证:.  

(2) 求三棱锥的体积.

19. 难度：中等

△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知．

（1）求角A；

（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

20. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，点D、E、F分别为线段A₁C₁、AB、A₁A的中点，A₁A＝AC＝BC，∠ACB＝90°．求证：

（1）DE∥平面BCC₁B₁；

 （2）EF⊥平面B₁CE．

21. 难度：中等

画糖是一种以糖为材料在石板上进行造型的民间艺术，常见于公园与旅游景点．某师傅制作了一种新造型糖画，为了合理定价，先进行试销售，其单价x（元）与销量y（个）相关数据如表：

单价x（元）	8.5	9	9.5	10	10.5
销量y（个）	12	11	9	7	6

（1）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

（2）若该新造型糖画每个的成本为5.7元，要使得进入售卖时利润最大，请利用所求出的线性回归方程确定单价应该定为多少元？（结果保留到整数）

参考公式：线性回归方程yx中斜率和截距最小二乘法估计计算公式：．参考数据：．

22. 难度：困难

已知圆C的圆心在x轴上，且经过点．

（1）求圆C的方程；

（2）若点，直线l平行于OQ（O为坐标原点）且与圆C相交于M，N两点，直线QM、QN的斜率分别为k_QM、k_QN，求证：k_QM+k_QN为定值．