上海市2017届高三上学期摸底考试数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

设全集，集合，，，则实数的值是____________.

2. 难度：简单

若复数z满足，其中i为虚数单位，则______．

3. 难度：简单

已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点为，两条渐近线的方程为，则该双曲线的标准方程为         .

4. 难度：简单

行列式的第2行第3列元素的代数余子式的值为______.

5. 难度：简单

若变量满足约束条件，则的最小值为__________．

6. 难度：中等

五位同学排成一排，其中甲、乙必须在一起，而丙、丁不能在一起的排法有________种

7. 难度：简单

已知为等差数列，为其前项和.若，，则______.

8. 难度：中等

设，则的值为__________．

9. 难度：简单

有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为_________

10. 难度：简单

函数为奇函数，则实数的值为______.

11. 难度：简单

关于的方程有且仅有一个负根，则实数的取值范围是______.

12. 难度：困难

设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y²＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM＝2MF，则直线OM的斜率的最大值为________.

13. 难度：困难

已知函数 为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为__________．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为；

当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：

①若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A

②单位圆的“伴随曲线”是它自身；

③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”关于y轴对称；

④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.

其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.

二、单选题

15. 难度：简单

钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）

A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件

16. 难度：简单

若是平面外一点，则下列命题正确的是（    ）

A.过只能作一条直线与平面相交

B.过可作无数条直线与平面垂直

C.过只能作一条直线与平面平行

D.过可作无数条直线与平面平行

17. 难度：中等

已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,把函数的图象沿轴向左平移个单位,得到函数的图象.关于函数,下列说法正确的是（    ）

A.在上是增函数 B.其图象关于直线对称

C.函数是奇函数 D.当时,函数的值域是

18. 难度：简单

已知符号函数，是上的增函数，，则（    ）

A.

B.

C.

D.

三、解答题

19. 难度：中等

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.

（1）求角C；（2）若，，求的周长.

20. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.

（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

21. 难度：中等

已知，函数，其中.

（Ⅰ）求使得等式成立的的取值范围；

（Ⅱ）求在区间上的最大值.

22. 难度：困难

各项均为正数的数列的前项和为，且对任意正整数，都有．

（1）求数列的通项公式；

（2）如果等比数列共有2016项，其首项与公比均为2，在数列的每相邻两项与之间插入个后，得到一个新的数列．求数列中所有项的和；

（3）是否存在实数，使得存在，使不等式成立，若存在，求实数的范围，若不存在，请说明理由．

23. 难度：困难

如图，已知曲线，曲线，P是平面上一点，若存在过点P的直线与都有公共点，则称P为“C₁—C₂型点”．

(1)在正确证明的左焦点是“C₁—C₂型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

(2)设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“C₁—C₂型点”；

(3)求证：圆内的点都不是“C₁—C₂型点”．