上海市2017届高三上学期开学考试数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

两数2和3的几何平均数是________

2. 难度：简单

已如矩阵，，，若，则________

3. 难度：简单

若（是虚数单位）是纯虚数，则实数________

4. 难度：简单

若函数，为偶函数，则_____

5. 难度：简单

已知集合，，则________

6. 难度：简单

已知幂函数过点，则的反函数为____

7. 难度：简单

已知圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高为________

8. 难度：简单

若二项式展开式中第四项与第八项的二项式系数相等，则其常数项为________

9. 难度：简单

在暑假期间，甲外出旅游的概率是0.2，乙外出旅游的概率是0.25，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是________

10. 难度：简单

已知一个四棱锥底面是平行四边形，该四棱锥三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________

 

11. 难度：中等

某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为______元.

12. 难度：中等

已知、是双曲线：的左、右焦点，点在双曲线上，与轴垂直，，则双曲线两条渐近线夹角的正切值为________

13. 难度：中等

若不等式对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_______________________

14. 难度：中等

在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为；

当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：

①若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A

②单位圆的“伴随曲线”是它自身；

③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”关于y轴对称；

④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.

其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.

二、单选题

15. 难度：简单

我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）

A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石

16. 难度：简单

如图所示,程序框图的功能是(    )

A.求的前项和 B.求的前项和

C.求的前项和 D.求的前项和

17. 难度：中等

已知数列，对于任意的正整数，，设表示数列的前项和，下列关于极限的结论，正确的是（    ）

A. B.

C. D.不收敛

18. 难度：中等

在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足，由点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是(　　)

A. B. C. D.

三、解答题

19. 难度：中等

已知，，分别为三个内角,,的对边，.

(Ⅰ)求；

(Ⅱ)若=2，的面积为，求，.

20. 难度：中等

如图，在直三棱柱中，是边长为4的正方形，，.

 

（1）求直线与平面所成的角的大小；

（2）证明：在线段上存在点，使得，并求的值；

21. 难度：中等

已知且，函数，记.

（1）求函数的定义域及其零点；

（2）若关于的方程在区间内仅有一解，求实数的取值范围.

22. 难度：中等

设等差数列的前项和为，且，；

（1）求数列的通项公式：

（2）设数列满足（），求的通项公式；

（3）求第（2）小题中数列的前项和；

23. 难度：困难

（1）设椭圆与双曲线有相同的焦点、，是椭圆与双曲线的公共点，且△的周长为6，求椭圆的方程；我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”；

（2）如图，已知“盾圆”的方程为，设“盾圆”上的任意一点到的距离为，到直线的距离为，求证：为定值；

（3）由抛物线弧（）与第（1）小题椭圆弧（）所合成的封闭曲线为“盾圆”，设过点的直线与“盾圆”交于、两点，，，且（），试用表示，并求的取值范围.