上海市2016届高三下学期5月月考数学试卷

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合，，则_____________.

2. 难度：简单

若复数满足，则的虚部为________.

3. 难度：简单

在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则_____.

4. 难度：简单

如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，若一个月以天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于个的天数为________.

5. 难度：中等

现有个女生和个男生随机站成一排，则排头和排尾均为女生的概率是________（结果用分数表示）.

6. 难度：简单

在极坐标系中，圆的圆心到极轴的距离为________.

7. 难度：中等

无穷等比数列的前项和为，若，且，则无穷等比数列的各项和为________.

8. 难度：中等

如图，正三棱柱中，，，若、分别是棱、上的点，则三棱锥的体积是________.

9. 难度：简单

设直线和圆相交于点、，则弦的垂直平分线方程是____．

10. 难度：中等

在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于、两点（、异于坐标原点），若直线恰好过点，则双曲线的渐近线方程是________.

11. 难度：简单

在边长为6的等边△ABC中，点M满足，则等于        ．

12. 难度：困难

已知函数且，其中为奇函数, 为偶函数，若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是            .

13. 难度：中等

已知圆：，为坐标原点，若正方形的一边为圆的一条弦，则线段长度的最大值是        .

14. 难度：中等

如图，在正三棱锥中，为线段的中点，在线段上，，为定长，则该棱锥的体积的最大值为________.

二、单选题

15. 难度：简单

等差数列的前n项和记为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（    ）

A. B. C. D.

16. 难度：中等

矩阵的一种运算，该运算的几何意义为平面上的点在矩阵作用下变换成点，若曲线，在矩阵的作用下变换成曲线，则的值为（    ）

A. B. C. D.

17. 难度：简单

函数是R上的增函数，则是的（ ）

A.充要条件 B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

18. 难度：困难

有一容积为的正方体容器，在棱、和面对角线的中点各有一小孔、、，若此容器可以任意放置，则其可装水的最大容积是（    ）

A. B. C. D.

三、解答题

19. 难度：中等

三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为、、，设向量，若//．

（1）求角B的大小；

（2）求的取值范围．

20. 难度：中等

如图，空间直角坐标系中，四棱锥的底面是边长为的正方形，且底面在平面内，点在轴正半轴上，平面，侧棱与底面所成角为45°；

（1）若是顶点在原点，且过、两点的抛物线上的动点，试给出与满足的关系式；

（2）若是棱上的一个定点，它到平面的距离为（），写出、两点之间的距离，并求的最小值；

（3）是否存在一个实数（），使得当取得最小值时，异面直线与互相垂直？请说明理由；

21. 难度：中等

已知，且，且，函数.

（1）设，，若是奇函数，求的值；

（2）设，，判断函数在上的单调性并加以证明；

（3）设，，，函数的图象是否关于某垂直于轴的直线对称？如果是，求出该对称轴，如果不是，请说明理由.

22. 难度：困难

已知、为椭圆（）和双曲线的公共顶点，、分为双曲线和椭圆上不同于、的动点，且满足，设直线、、、的斜率分别为、、、.

（1）求证：点、、三点共线；

（2）求的值；

（3）若、分别为椭圆和双曲线的右焦点，且，求的值.

23. 难度：困难

已知是数列的前项和，对任意，都有；

（1）若，求证：数列是等差数列，并求此时数列的通项公式；

（2）若，求证：数列是等比数列，并求此时数列的通项公式；

（3）设，若，求实数的取值范围.