黑龙江省哈尔滨市2018-2019学年高一下学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

下列结论正确的是（   ）

A.空间中不同三点确定一个平面

B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面

C.一条直线和一个点能确定一个平面

D.梯形一定是平面图形

2. 难度：简单

若，则下列结论不正确的是（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：中等

（卷号）2397643038875648

（题号）2398229448728576

（题文）

已知直线、，平面、，给出下列命题：

①若，，且，则；②若，，且，则；

③若，，且，则；④若，，且，则.

其中正确的命题是（    ）

A.①② B.③④ C.①④ D.②③

4. 难度：简单

设数列是公差不为零的等差数列，它的前项和为，且、、成等比数列，则等于（    ）

A. B. C. D.

5. 难度：中等

已知，，则（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：中等

有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是

A.4 B.5 C.6 D.7

7. 难度：中等

在数列中，（，为常数），若平面上的三个不共线的非零向量、、满足，三点、、共线且该直线不过点，则等于（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（    ）

A. B.或 C.或 D.

10. 难度：中等

已知某数列的前项和（为非零实数），则此数列为（    ）

A.等比数列 B.从第二项起成等比数列

C.当时为等比数列 D.从第二项起的等比数列或等差数列

11. 难度：困难

设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ）

A.0 B.1 C. D.3

12. 难度：中等

点、、、在同一个球的球面上，，.若四面体的体积的最大值为，则这个球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：中等

已知正方体的棱长为，点、分别为、的中点，则点到平面的距离为______.

14. 难度：中等

已知正三棱柱木块，其中，，一只蚂蚁自点出发经过线段上的一点到达点，当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为______.

15. 难度：中等

已知数列满足则的最小值为__________.

16. 难度：简单

有6根细木棒，其中较长的两根分别为，，其余4根均为，用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线所成的角的余弦值为          .

三、解答题

17. 难度：中等

在正方体中.

（1）求证：；

（2）是中点时，求直线与面所成角.

18. 难度：中等

正四棱锥中，，分别为，的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，求异面直线和所成角的余弦值.

19. 难度：中等

如图所示，是一个矩形花坛，其中米，米．现将矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求：在上，在上，对角线过点，且矩形的面积小于150平方米．

（1）设长为米，矩形的面积为平方米，试用解析式将表示成的函数，并确定函数的定义域；

（2）当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求最小面积．

20. 难度：中等

如图，等腰梯形中，，，，取中点，连接，把三角形沿折起，使得点在底面上的射影落在上，设为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

21. 难度：中等

已知三棱柱中,三个侧面均为矩形,底面为等腰直角三角形, ,点为棱的中点,点在棱上运动.

（1）求证；

（2）当点运动到某一位置时，恰好使二面角的平面角的余弦值为，求点到平面的距离；

（3）在（2）的条件下，试确定线段上是否存在一点，使得平面？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由.

22. 难度：中等

已知数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）当时，证明不等式：.