河南省郑州市2017-2018学年高一下学期期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知向量若为实数，则＝（ ）

A.2 B.1 C. D.

2. 难度：简单

三位七进制的数表示的最大的十进制的数是( )

A.322； B.402； C.342； D.365

3. 难度：简单

在中，点D是边的中点，点G在上，且是的重心，则用向量、表示为（    ）

A. B.

C. D.

4. 难度：中等

执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

5. 难度：中等

已知曲线C₁：y=cos x，C₂：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是(    )

A.把C₁上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C₂

B.把C₁上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C₂

C.把C₁上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C₂

D.把C₁上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C₂

6. 难度：中等

已知两个单位向量和夹角为，则向量在向量方向上的投影为（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

如果函数的图象与轴交与点，过点的直线交的图象于两点，则（  ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

已知函数在区间上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是（ ）

A.6 B.7 C.8 D.9

9. 难度：中等

已知单位向量的夹角为，若，则为（ ）

A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形

10. 难度：中等

已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ）

A.

B.

C.

D.

11. 难度：简单

(2016·哈尔滨三模)已知O为正三角形ABC内一点，且满足，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为(　　)

A. B.1

C.2 D.3

12. 难度：中等

函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数m的取值范围是（     ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：中等

已知向量的夹角为，且，，则_____________.

14. 难度：中等

________.

15. 难度：简单

已知，且在区间有最小值无最大值，则       .

16. 难度：困难

有下列四个说法：

①已知向量，，若与夹角为钝角，则；

②已知函数的图象关于直线对称，则；

③当时，函数有四个零点；

④已知，函数在上单调递增，则的取值围是.

其中正确的是_________________.（填上所有正确说法的序号）

三、解答题

17. 难度：中等

已知，，.

（1）求与的夹角和的值；

（2）设，，若与共线，求实数m的值.

18. 难度：中等

已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.

（1）求与的值；

（2）若，求的值.

19. 难度：中等

设是平面上的两个向量，若向量与互相垂直.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若，且，求的值.

20. 难度：中等

设函数的图象上相邻最高点与最低点的距离为.

（1）求的值；

（2）若函数是奇函数，求函数在上的单调递减区间.

21. 难度：中等

已知的面积S满足，且，与的夹角为.

（1）求的取值范围；

（2）求函数的最大值.

22. 难度：中等

如图，现有一块半径为2m，圆心角为的扇形铁皮，欲从其中裁剪出一块内接五边形，使点在弧上，点分别在半径和上，四边形是矩形，点在弧上，点在线段上，四边形是直角梯形．现有如下裁剪方案：先使矩形的面积达到最大，在此前提下，再使直角梯形的面积也达到最大.

（1）设,当矩形的面积最大时，求的值；

（2）求按这种裁剪方法的原材料利用率．