上海市2016-2017学年高一上学期期中数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

函数的定义域为__________

2. 难度：简单

已知全集且，则集合的真子集共有______个．

3. 难度：简单

若函数，且，则=______．

4. 难度：简单

已知，命题：“若都是奇数，则是偶数”的逆否命题是_______

5. 难度：简单

若函数，，则__________．

6. 难度：简单

已知，，，则的最大值是______．

7. 难度：简单

一元二次不等式的解集为，则______．

8. 难度：简单

若不等式对一切成立，则的取值范围是 _    _ .

9. 难度：中等

已知函数，为偶函数，则______．

10. 难度：中等

对于实数，若，规定，如、；则不等式的解集是______．

11. 难度：中等

设函数，的定义域分别为，，且，若对于任意，都有，则称函数为在上的一个延拓函数．，，为在上的一个延拓函数，且为奇函数，则______．

12. 难度：简单

小明最近在研究一问题：“已知实数，若，则”，老师告诉他这是假命题，那么符合条件的一个反例可以是______.

二、单选题

13. 难度：简单

三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如下图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（    ）.

A.如果，，那么 B.如果，那么

C.对任意实数和，有，当且仅当时等号成立 D.如果，那么

14. 难度：中等

设，则“”是“”的（    ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

15. 难度：简单

设取实数，则与表示同一个函数的是（    ）

A.，

B.，

C.，

D.，

16. 难度：简单

对于问题“设实数满足，证明：，，中至少有一个不超过” ．

甲、乙、丙三个同学都用反证法来证明，他们的解题思路分别如下：

甲同学：假设对于满足的任意实数，，，都大于矛盾的，从而证明原命题．

乙同学：假设存在满足的实数，，，都大于，再证明所有满足的均与“，，都大于”矛盾，从而证明原命题．

丙同学：假设存在满足的实数，，，都大于。再证明所有满足的均与“，，都大于”矛盾，从而证明原命题．

那么，下列正确的选项为（    ）

A.只有甲同学的解题思路正确

B.只有乙同学的解题思路正确

C.只有丙同学的解题思路正确

D.有两位同学的解题思路都正确

三、解答题

17. 难度：简单

已知集合，，.

（1）求；

（2），求的取值范围．

18. 难度：中等

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。

（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式。

（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。

19. 难度：中等

请解决下列问题：

（1）比较与的大小；

（2）已知，利用（1）的结论，求的最小值．

20. 难度：中等

已知函数．

（1）若，解方程；

（2）是否存在实数，使得在上是奇函数或是偶函数？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

21. 难度：困难

设，若，则称为集合的元“好集”；

（1）写出实数集的一个二元“好集”；

（2）问：正整数集上是否存在二元“好集”？说明理由；

（3）求出正整数集上的所有三元“好集”；