2019届天津市部分区高三下学期质量调查（一）数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

若集合，，则（   ）

A.  B.  C.  D.

2. 难度：简单

若，均是定义在上的函数，则“和都是偶函数”是“是偶函数”的（   ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

设变量满足约束条件，则目标函数的最大值是（   ）

A. 7 B. 5 C. 3 D. 2

4. 难度：中等

如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（   ）

A. 7 B. 15 C. 31 D. 63

5. 难度：中等

设函数，则下列结论中错误的是（   ）

A. 的一个周期为 B. 的最大值为2

C. 在区间上单调递减 D. 的一个零点为

6. 难度：简单

我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为（   ）

A.108石 B.169石 C.237石 D.338石

7. 难度：困难

已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别是，若点是抛物线的准线与的渐近线的一个交点，且满足，则双曲线的方程是（   ）

A.  B.  C.  D.

8. 难度：困难

已知函数的定义域为，且函数的图象关于直线对称，当时，（其中是的导函数），若,,，则的大小关系是（   ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题

9. 难度：简单

是虚数单位,若是纯虚数,则实数的值为______.

10. 难度：简单

在的展开式中，含项的系数为_________.（用数字填写答案）

11. 难度：简单

已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________.

12. 难度：简单

已知直线的参数方程是（为参数），若与圆交于两点，且，则直线的斜率为_________.

13. 难度：中等

若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为________.

14. 难度：中等

已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，，则_________.

三、解答题

15. 难度：简单

在中，内角所对的边分别为，.

（1）求的值；

（2）求的值.

16. 难度：中等

某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从四所高校中选2所.

（Ⅰ）求甲、乙、丙三名同学都选高校的概率；

（Ⅱ）若已知甲同学特别喜欢高校，他必选校，另在三校中再随机选1所；而同学乙和丙对四所高校没有偏爱，因此他们每人在四所高校中随机选2所.

（ⅰ）求甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率；

（ⅱ）记为甲、乙、丙三名同学中选校的人数，求随机变量的分布列及数学期望.

17. 难度：中等

在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，∥，，平面平面，且.

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长．

18. 难度：中等

已知数列的前项和为，且（），.数列为等比数列，且.

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

19. 难度：困难

已知椭圆经过点离心率.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）经过椭圆左焦点的直线(不经过点且不与轴重合)与椭圆交于两点，与直线:交于点，记直线的斜率分别为.则是否存在常数，使得向量共线？若存在求出的值；若不存在，说明理由.

20. 难度：困难

设函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）当时，试判断零点的个数；

（Ⅲ）当时，若对，都有（）成立，求的最大值.