2019届北京市高三下学期三模数学（文科）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设全集，，（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设复数且，则复数的虚部为（ ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

下列函数中为奇函数的是（   ）

A. B.

C. D.

4. 难度：中等

直线被圆截得的弦长为，则直线的斜率为(    )

A. B. C. D.

5. 难度：中等

已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的(　　)

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6. 难度：简单

如图，△ABC为正三角形，，底面ABC，若，，则多面体在平面上的投影的面积为

A. B. C. D.

7. 难度：中等

已知函数与，若与的交点在直线的两侧，

则实数的取值范围是 （ ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知，，则的最小值为(    )

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题

9. 难度：简单

若对于，恒成立，则的取值范围是______.

10. 难度：简单

若非零向量，满足，则向量与的夹角为______.

11. 难度：简单

已知双曲线：的一条渐近线与直线：垂直，的一个焦点到的距离为1，则曲线的实轴长为______.

12. 难度：简单

在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，，则______.

13. 难度：中等

已知函数.若存在，使得，则的最小值为__________.

14. 难度：困难

观察下面的数表，该表中第6行最后一个数是______；设2016是该表的行第个数，则______.

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数.

（1）求函数的定义域；

（2）求函数当的单调增区间.

16. 难度：中等

已知数列的前项和，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

17. 难度：中等

A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：

A班	6 6.5 7 7.5 8
B班	6 7 8 9 10 11 12
C班	3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5

（Ⅰ）试估计C班的学生人数；

（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；

（Ⅲ）再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时）.这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小.（结论不要求证明）

18. 难度：中等

如图，在直角梯形中，，，，直角梯形可以通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且平面平面.

（1）求证：；

（2）设、分别为、的中点，为线段上的点（不与点重合）.

（i）若平面平面，求的长；

（ii）线段上是否存在，使得直线平面，若存在求的长，若不存在说明理由.

19. 难度：困难

在平面直角坐标系中，是椭圆：上的点，过点的直线的方程为.

（1）求椭圆的离心率；

（2）当时，

（i）设直线与轴、轴分别相交于，两点，求的最小值；

（ii）设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点，，三点共线.

20. 难度：困难

已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）设，若在区间上有两个极值点，求实数的取值范围.